作者ll2NTU5566 (台大五六哥)
看板joke
標題Re: [猜謎] 1+1=?
時間Thu Aug 15 15:15:46 2013
1+1=?
證明: 1+1=2 數學科洪士薰老師
1. 先瞭解 peano 公設:所謂自然數,就是滿足下列條件,
1.一集合 N 中,有元素 n,及後繼元素 n+,n+與 n 對應.
2.元素 e 必定屬於 N 中.
3.元素 e 在 N 中不為任一元素的後繼元素.
4.N 中的元素,a+=b+則 a=b.(元素唯一)
5.(歸納公設)S 為 N 的子集,e 屬於 S,n 屬於 S,n+也屬於 S.那麼 S=N.
N 就是我們說的自然數集合. 其中我們規定 e:=1, e+:=2, (e+)+:=3,.....以此類推.
2. 再來定義加法, 加法(+)為一函數,這函數滿足兩個條件
1.(+)(n,e)=n+ 寫成大家熟悉的式子 1.n(+)e=n+
2.(+)(n,m+)=((+)(n,m))+ 2.n(+)m+=(n(+)m)+
滿足上面條件的函數(+),我們稱為加法+.(+):=+
滿足這兩條件的函數是可以證明存在且唯一:證明如下
存在:e, e+ ,(e+)+,…… 即所有自然數
唯一:" În N ,
+(n,e)=n+
+(n,e+)=(+(n,e))+
+(n,e+)+)=………
故(+)存在且唯一
因為(+)(e,e)=e+
e(+)e=e+
所以 1+1=2 得證.
上述證明翻成白話文如下:
自然數系依加法運算分別是:1,1+,(1+)+,……。而這些 1+,(1+)+,…就用符號
2,3,…表示,所以 1 + 1 指的是 1 後面那一個數字,也就是 1+,自然就是 2。
為什麼會有 Peano 公設,及定義加法,這起源於十九世紀末,二十世紀初,Hibert,
Brouwer,因物理上狹義相對論,及量子論推翻了物理舊基礎,而數學家們因此想證明,
數學是有堅固基礎,是不變的真理。所以希望能從邏輯上建立一個完整、嚴密的基礎,
於是第一個當然針對自然數系開 始,希望能像歐氏幾何一樣,從基本公設,經由邏輯就
可以得到完整的自然數系性質,所以歸結出Peano 五個公設(其實後人把它進一步歸結成
三個),而羅素與他的老師懷海德合寫<<數學原理>> 三大卷,就是做了一部份工作。
Hilbert 擬了一連串計畫要把數學的基礎轉化成邏輯,這樣一來, 數學家就可以宣稱
「數學是真理」。不幸的是,1929 年 Godel 23 歲時證明了一個定理:
不完全性定理:
如果有一個系統包含算術,而且這一系統的基本假設並不會互相矛盾,那麼這個系統中
一定存在一個命題,這一個命題的肯定或否定都無法證明。所以數學並不只是邏輯。
當然「1 + 1 = 2」的證明是否很有意義,可以從 Godel 的定理來看看。
不管如何,亞里斯多德說:「知識始於驚奇」,若有興趣不妨去看看下面的書:
1. 希爾伯特的 23 個數學問題(天下文化):第五章。
2. 哥德爾不完全性定理(九章)。
資料來源:
http://www.tngs.tn.edu.tw/teaching/math/research/1%2B1=2.pdf
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噓 marklin:哈哈哈哈哈 好好笑喔 08/15 15:17
推 OAzenO:你不知道數學版第一篇已經有1+1=2的證明嗎? 08/15 15:22
推 Winstonred:認真...給推好惹 08/15 15:24
噓 Dooo: 08/15 15:48
推 ldsyang:看joke長知識 08/15 16:05
→ RICKY12035:老梗 而且大一就會教了 樓下幫噓 08/15 17:00
噓 pp31630: 08/15 19:08
→ edc333:偷用公設... 08/15 21:55
噓 LIAN5024:沒笑给噓 08/15 22:28
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