作者pop88pop88 (小紅帽恰恰)
看板juniorhigh
標題Re: [問題] 數學
時間Sun Sep 6 17:29:37 2009
: 不大於300，而恰有6個正因數的自然數中最小者為何?最大者為何?共有多少個?
: ans:12,292,40
像這種跟幾個因數有關的題目 想到跟討厭的質數有關係
先在紙上列出小於100的質數
2, 3, 5, 7,
11, 13, 17, 19
23, 29
31, 37
41, 43, 47
53, 59
61, 67
71, 73, 79
83, 89
91, 97
一個數有六個正因數 他的因數組合有兩種
第一個是 某個質數的平方*另外一個質數
好比 (2^2)*3 -> 12 [1,2,3,4,6,12] , (11^2)*2 -> 242[1,2,11,22,121,242]
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在這邊我就嘗試了很久
發現當某數的因數是由3個質數組成的話
像是3*5*7 = 105[1,3,5,7,15,21,35] 他的正因數就會超過6個
然後我又發現如果其中一個質數平方 再乘上另外一個質數時
好比3*3*5 就會剛好有 1*(3*3*5); 3*(3*5); (3*3)*5 三種可能剛好六個正因數
最後我又因為不巧注意到 2*2*2 會只有5個正因數 所以才想到要把自己扣掉
總之對我來說 這題簡直是湊答案湊出來的 = =
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第二個是 他就是某個質數的5次方
好比 2^5 -> 32[1,2,4,8,16,32] , 3^5 -> 243[1,3,9,27,81,243]
根據上面列出的這兩種可能組合 以及題目要求要小於300的限制
第一種組合可以這樣找
2^2 可以配上 不大於75的質數 有20個 (要記得扣掉2自己)
3^2 33 10
5^2 12 4
7^2 6 3
11^2 2 1
13^2 以後就找不到了
所以 第一種組合有 38種可能性
第二種組合
2^5 = 32
3^5 = 289
5^5 = 3125 (比300大了)
所以 第二種組合有2種可能性
一共有40種
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其實我覺得這種題目很不適合拿來升學考試
看過的人就想得很快 沒看過的人就要像我一樣在那裡觀察
如果沒有給我答案的話 我可能想一整天都還沒觀察出個所以然來
因為我是考試機器 所以我非常討厭這種題目 = =
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然後 感謝linchunlong提醒了可以用算因數個數的那個公式入手找到兩種組合方式
公式長這樣:
a,b,c是質數 x,y,z是正整數
N = a^x * b^y * c^z -> N的正因數個數有 (x+1)*(y+1)*(z+1)個
以這題來說 六個正因數
N = a^x * b^y 有六個正因數 (如果有第三個質數出現的話就會超過6個了)
(x+1)(y+1)=6 -> (x,y)=(1,2);(0,5)
(x,y)=(1,2) 就是我上面觀察到的那個某個質數的平方乘上另一個
(x,y)=(0,5) 則是上面提到的那個單一質數的5次方
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￡hsiencw 再見了 現代 流行 掰掰
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◆ From: 123.195.182.155
※ 編輯: pop88pop88 來自: 123.195.182.155 (09/06 17:31)
※ 編輯: pop88pop88 來自: 123.195.182.155 (09/06 17:40)
推 j0958322080:3^5 = 289似乎不是唯一的解 09/06 17:38
※ 編輯: pop88pop88 來自: 123.195.182.155 (09/06 17:57)
※ 編輯: pop88pop88 來自: 123.195.182.155 (09/06 17:57)
推 rusheavn:懂了，謝謝LIN跟恰恰 > /// <' 09/06 18:06
※ 編輯: pop88pop88 來自: 123.195.182.155 (09/06 18:10)