Re: [問題] 數學問題

[Dinjang (DD)]

※ 引述《ylmiijf (楓言風語)》之銘言：
: 大家安:
:   請教一題數學問題:
:   a^2+b^2+c^2=9,a,b,c為實數,求(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2的最大值?
: 不知有沒有國二生可以懂的方法?
: 這是學生補習班出的問題,小弟有用球面方程式及柯西不等式兩方法來解,答案都算36,
: 不知對不對?再者,上述兩種方法國中生都沒法理解,故請版上的大大們指導一下囉,感
: 謝大家!^.^

        (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)
                               =18-2(ab+bc+ca)....(1)

        (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=9+2(ab+bc+ca)
        所以 2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2-9..........(2)

        (2)代入(1)
        得 (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=18+9-(a+b+c)^2
                                  =27-(a+b+c)^2<=27

        故最大值為 27
        此時 a+b+c=0 且 a^2+b^2+c^2=9

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◆ From: 140.114.102.115
→ Dinjang:ㄜ...前面好像已經有類似的解法了^^"
推 ylmiijf:還是謝謝您囉!^^