您好，我是念統計的，這學期有在修機率。
恰好前陣子上課上到條件機率的部分，因此對您提出的機率問題很有興趣。
然而，這當中有些部分，我覺得可以再提出來再討論一下。
※ 引述《u504053 (Rebecca)》之銘言：
: 而剩下的題目全都是考[條件機率]的觀念
: 條件機率應該很多人都知道他的定義
: 在給定A事件發生情況之下，B事件發生之機率
: 但很多人卻不了解何謂"給定"
中間恕刪
: 換言之
: 這只是很簡單的機率問題
: 並非[條件機率]
您說得對，這題並非「條件機率」。
但這並不表示某甲說的話就不會影響猜硬幣的結果。
事實上，這題並不是簡單的機率問題，這是「貝氏機率(Bayes' Probability)」。
「貝氏機率」的定義跟「條件機率」很像。
都是在考慮「 A 事件的情況下， B 事件發生的機率」。
唯一比較不同的地方是 A、B 兩事件發生的先後順序。
貝氏機率的 A 事件是發生在 B 事件後，而條件機率的 A 事件是發生在 B 事件之前。
舉個簡單的例子：
棒球場上，投手投出好球的事件是A，裁判判好球的事件是B。
那麼，條件機率就是「在投手投出好球的情況下，裁判判好球的機率？」
貝氏機率則是「在裁判判好球的情況下，投手真的投出好球的機率是？」(裁判會誤判)
回到本來的題目。
本題要問的應該是「某甲回答正面的情況下，兩枚硬幣相異的情況是？」
假設某甲回答正面和回答反面的機率一樣，都是1/2，那麼畫樹狀圖：
┌擲出正,正─回答有一面為正：P = 1/4
├擲出正,反┬回答有一面為正：P = 1/8
│ └回答有一面為負：P = 1/8
├擲出反,正┬回答有一面為正：P = 1/8
│ └回答有一面為負：P = 1/8
└擲出反,反─回答有一面為負：P = 1/4 (我的樹狀圖格式不是很正式，請見諒)
是故，P(兩面相異|回答正面) = (1/8 + 1/8) / (1/8 + 1/8 + 1/4) = 1/2
這個結果和某甲沒有回答時的機率是一樣的，故無差別。
但別忘了，這是在假設某甲回答正反的機率皆同的情況下所做的。
故實際上，設某甲在出現正反兩枚硬幣的時候，回答是有面為正的機率是 p 。
則原來的機率會變成： P(兩面相異|回答正面) = 2p / (1 + 2p) 。
此時某甲若有給提示，就會對結果造成影響。
ex.某甲在出現正反時，回答正面的機率是0.8(某甲討厭回答反)。
此時某甲回答正面，其硬幣相異的機率就是 1.6/2.6 = 61.53%。
或著是更直覺一點的思考。
某甲比較喜歡答「正」勝過答「反」。
那麼，當某甲回答「反」的時候，猜相同應該比較容易猜對。
因為當硬幣出現(正,反)的時候，某甲的回答應該是答正的機會比較多。
是故相同的機率會比較大一些。
同理，當某甲回答「正」的時候，猜相異可能猜中的機會比較大。
然而，原來的題目並沒有提到某甲回答正或反的偏好機率。
因此說沒有影響也可以，說有影響也不見得錯。
題目必須要進一步給定某甲對回答正反的偏好，才能指出到底有無影響。
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