作者KanoLoa (諾)
看板logic
標題[請益] 換，還是不換？
時間Thu Feb 28 02:00:50 2008
上機率課的時候，教授問了這樣的一個問題。
先給你一包紅包，打開來看後，發現裡面裝著的是不少於1000的現金。
然後再拿一包紅包到你面前，告訴你說，
這包紅包裡面所裝的現金，跟你之前的紅包相差五倍，可能多可能少。
接著問你，衡量比較利益以及風險之後，
「要換，還是不要換？」
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當下我的直覺回答是，換。
理由是換到較多或是較少的紅包機率各是 1/2 。
假設原本紅包中有 1000 $
若換到比較多的紅就會是 5000 $ ，將多出 4000 $
而換到比較少的紅包則是 200 $ ，會損失 800 $
同樣 1/2 的機會，我會選擇 換。
因為我自己將其類比成極端一點的例子就如下：
將倍率放到極大之後(例如10萬倍) ， 同樣 1/2 機會 ，
中了就能得到 1000 x 10萬倍 的獎金。
而沒中就只是從原本的 1000 成本變回 0。
感覺就像是給你 1$ 賭博，贏了就給你百萬，輸了就回到 0$
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而教授的回答是，換與不換的答案都沒有差別。
他說，不要看倍率以及原本拿到的現金數量。
純粹把紅包分成 "多" 和 "少" 兩種。
而一開始兩包紅包裡面，你所拿到的那份，
屬於 "多" 的機率是 1/2 , "少" 的機率也是 1/2。
假設換， 那你拿到 "多" 的機率還是 1/2 ，"少" 亦然如是。
若不換， 那你拿到 "多" 的機率也是 1/2 ，"少" 也如是。
量化來假設：
今天一開始只有兩包紅包。 分別是 5000 $ 以及 1000 $
那麼拿到 5000 $ 及 1000 $ 的紅包 各是 1/2 。
若是有100個人參加這活動，理想將是 50人 拿到 5000 $ 另外則是 1000 $
不換的狀況是
50 x 5000 + 50 x 1000 = 30 萬
換的狀況是
50 x 1000 + 50 x 5000 = 30 萬
所以，換 與 不換 將沒有任何差別。
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教授說我跟他的想法在題目一開始，本質就有所差異，才會有這兩種結果。
雖然是很單純的問題，但是我竭盡腦力還是不能想得透徹。
所以想請教版上各位的意見，文中推論是否有誤，抑或是我誤解教授的話了。
感謝花費時間看完文章 m(_ _)m
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◆ From: 59.105.79.43
※ 編輯: KanoLoa 來自: 59.105.79.43 (02/28 02:02)
推 IKINO:我直覺認為教授是從期望值的角度切入... 02/28 08:43
→ IKINO:另外還有教授出題的用字. 感覺教授只有5000跟1000兩種紅包. 02/28 08:44
→ IKINO:然而你的理解是有 200 1000 5000三種紅包 02/28 08:44
→ IKINO:我想也許關鍵在於 "不少於"1000. 02/28 08:45
推 luciferii:教授亂來，「原本拿到的現金數量」怎麼可以不看? 02/28 09:48
推 luciferii:而且什麼是"換與不換的答案"?哪個題目?哪個題目的答案? 02/28 09:54
→ luciferii:對誰沒有差別?? 02/28 09:55
→ luciferii:30萬是什麼東東的期望值?? 02/28 09:56
→ KanoLoa:luciferii 大， 不好意思可能我把教授的原意曲解太多>_< 02/28 11:32
→ KanoLoa:其實我就是聽不懂教授的解釋 才會來這邊發文 O_O 02/28 11:33
推 dementia:我也覺得是從期望值的角度切入 我的看法是E=∫XdP 一般人 02/28 18:54
→ dementia:直覺是把金額代入X 而教授是把"多"和"少"代入X 假設"多" 02/28 18:59
→ dementia:是"+1" "少"是"-1" 算出的期望值就是0 或許教授的意思 是 02/28 19:01
→ dementia:要問你為什麼用金額代入X 02/28 19:02
推 luciferii:這教授要是這樣想，那可能不適合開賭場.... 02/28 20:34
推 Nalu:200的比率到哪去了? 02/28 21:23
推 IKINO:我猜"不少於"就是把200的可能給否定了... 還是有請教授吧XD 02/28 23:42
→ KanoLoa:換的那包 不用受限於 不小於1000 這個條件 02/29 10:45
→ KanoLoa:至於兩百的比率 把5000$ 1000$ 換成1000$ 200$ 就是O_O 02/29 10:46
推 IKINO:題義上是這麼理解的 問題在於這是不是教授的本意呢 02/29 16:26
→ IKINO:所以還是有請教授下凡來解答 02/29 16:27
→ KanoLoa:好吧 我在去煩他 希望不要被盯上XD 02/29 21:36