Re: [請益] 列出 {1,2,3} 的子集合

[MathTurtle (恩典)]

follow一下ksmrt0123的講法,
有趣的地方在於, 無論是作法一或是作法二,
就算解釋為操作行定義, 也不可能是完整的對子集合的定義。
關鍵在於, 一次加一個, 不加上union 或power set的操作法,
最多到finite set而已。
所以兩個版本其實都是很怪的"定義"。

※ 引述《ksmrt0123 (ksmrt)》之銘言：
: ※ 引述《yauhh (喲)》之銘言：
: : 看到外國朋友在blog討論子集合問題,說有本書這樣子定義:
: : 1. 空集合是空集合的子集.
: : 2. A是B的子集,將一個元素x加入A,B集合分別得到A'和B',則A'也是B'的子集.
: : 3. A是B的子集,將一個元素加入B集合得到B',則A也是B'的子集.
: : 他說這樣子定義不對勁,應該是另外這樣:
: : 1. 空集合是任何集合的子集.
: : 2. A是B的子集,而元素x屬於A,將x加入A集合得到A',則A'也是B的子集.
:                            ^
:                            應該是B的筆誤
: 我的想法是,
: 上面是subset的兩個operatioinal definition,
: 也就是提出明確的作法, 來判斷一個set X 是否為另一個set Y之subset.
: 舉例來說, 要判斷 {1,2}是否為{1,2,3,4}之subset,
: 作法一:
:         1. 空集合是空集合的子集
:         2. {1} 是 {1} 的子集
:         2. {1,2} 是 {1,2} 的子集
:         3. {1,2} 是 {1,2,3} 的子集
:         3. {1,2} 是 {1,2,3,4} 的子集
按照作法一, 我們無法用這操作行定義來check
是否 {1} 是 N (the set of natural numbers)的子集:
1. 空集合是空集合的子集
2. {1}是{1}的子集
3. {1}是{1,2}的子集
4. {1}是{1,2,3}的子集
......

[如果要避開這困難而加上 "空集合是任何集合的子集",
例子可以改成check 是否 N 是 N 的子集]

: 作法二:
:         1. 空集合 是 {1,2,3,4} 的子集
:         2. {1} 是 {1,2,3,4} 的子集
:         2. {1,2} 是 {1,2,3,4} 的子集
作法二優於作法一的地方在於, 它的確可以得到 "{1}是N的子集"這結論:
1. 空集合是N的子集
2. {1}是N的子集

但是作法二仍然無法得到 "N是N的子集"這結論:
1. 空集合是N的子集
2. {1}是N的子集
3. {1,2}是N的子集,
4. {1,2,3}是N的子集
.....


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 81.107.35.152
推 stimim:作法2沒辦法得到{1}是N的子集這個結論吧？因為他只能加入
→ stimim:以存在於A中的元素，但A為空集合，沒有辦法把1加入A中
推 luciferii:這裏談的定義2是 k 兄訂正過認為是筆誤的版本
→ luciferii:不過N還是可數集合，所以理論上把所有N中元素加入左邊
→ luciferii:兩種作法都可證出N為N的子集
→ luciferii:用不可數集合(例如R)就比較有問題
推 stimim:那就用 one-to-one 和 onto 來定義子集合如何？
→ MathTurtle:對 我本來想舉R 作例子的
→ MathTurtle:但我發現它連inductive都作不出來 所以N其實是不能的
推 luciferii:O_O 作法1,2中都可以推論到所有N中元素都加入吧
推 stimim:前題是induction在推廣到"無窮大"仍需成立
→ MathTurtle:對啊 它會需要inductive step宣稱它可以推到N本身啊
→ MathTurtle:而這通常也需要一個axiom才做的到的
推 luciferii:我認為"因為N可數"就可以滿足這個需要，而R不可數，所
→ luciferii:以才無法證得
→ MathTurtle:yap 如果informally容許recursion的話 要用R做例子才行
→ ksmrt0123:感謝大師指導 也謝謝luciferii的說明  m(_ _)m
→ ksmrt0123:另外我後來想到 該"定義"用來判斷 X非Y的子集 需要窮舉
→ ksmrt0123:若Y非finite set會有問題 如 X={1.1} Y=N