Re: [請益] 有沒有是自反但不是完全自反的關係?

[gooogle79 (北風亂 夜未央)]

首先，感謝您的回覆

※ 引述《MathTurtle (恩典)》之銘言：
: ※ 引述《gooogle79 (北風亂  夜未央)》之銘言：
: : 以下"存在"皆以"E"表示
: : "所有x"以"(x)"表示
: : 完全自反：(x)Rxx
: : 自反    ：(x)(Ey)((Rxy v Ryx)--> Rxx)
: : 已知任何一關係若為完全自反則有自反關係，今欲求一關係，其
: : 具有自反性質但不具有完全自反性質？
: : -------------------------------------------------------------------------
: : 我問彭老師，老師的解答是"屬於"：
: 「屬於」：每個集合或者屬於某個集合，或者有個集合屬於它，但沒有任何集合屬於自
: 己坦白說我看不太懂他的回答，同時也想知道有無其他例子，因此來版上請教各位大大
: : ＞＜～～感激!!!
: 我懷疑你的「自反」是不是給錯定義了。

  我是按照彭老師《基礎邏輯》的課本打的耶@@"

: 因為按照這個定義, 任何關係都會是「自反」。
: 原因很簡單, 對任何關係R, 以及對任意的x, 我們都有 Rxx -> Rxx
: 因此我們有 (Rxx v Rxx) -> Rxx,
: 而因此 (Ey)[(Rxy v Ryx) -> Rxx], 而一般化之後得到
: (x)(Ey)[(Rxy v Ryx)--> Rxx]。
: 所以只要任何不是完全自反的的關係就是
: 「具有自反性質但不具有完全自反性質」了。

  我試著用比較具體的例子幫助自己理解，有錯煩請指正
  比方：假設R是">"
        因為我們會接受
        (1>1) -> (1>1)
          F   T    F

  所以當變成(x)(Ey)[(Rxy v Ryx) -> Rxx]
  對任何x我們可以找到一個y，y=x，使得
        (Rxy v Ryx) -> Rxx
          F  F  F   T   F

  從上述觀察，抽象一點來說，只要Rxx必假，則(x)Rxx即不為真
  當Rxx必假，(Rxx -> Rxx)必為真，故而(x)(Ey)[(Rxy v Ryx)--> Rxx]
  亦必真。

  另，任何關係R皆自反(按照我手邊的書的定義@@)的說法可能不能成立
  畢竟有些R的Rxx未必真也未必假

  不過按照目前的定義，則自反和反自反((x)﹁Rxx)就沒有差別了QQ

: 我猜你想講的「自反」應該是 quasi-reflexive,
: 它是指一個關係滿足 (x)[ (Ey)(Rxy v Ryx) -> Rxx]
: (注意這裡的 (Ey) 的 scope 和你給的不一樣),
: 這種 quasi-refexive 的意思, 是說任何東西, 只要有某個東西與他R有的關係,
: 那麼它就自己和自己有 R 的關係。
: quasi-reflexive but NOT reflexive 的例子有很多, 只要你有孤立點就行,
: 例如 wiki 上面的 'has the same limit'
: http://en.wikipedia.org/wiki/Reflexive_relation
: 如果覺得這例子太複雜, 那不妨考慮類似的 Rxy := x 與 y 正在讀同一所學校。
: 因為不是每個人都在學校裡讀書, 所以 R 不是 reflexive,

  所以reflexive是(x)Rxx？

: 但只要 x 有和任何人讀同一所學校, 他就至少和自己是讀同一所學校,
: 所以它是 quasi-reflexive。
: 事實上更簡單的例子可以舉 quasi-reflexive and irreflexive 同時成立的,
: 也就是 empty relation。

　我不懂empty relation.......
  大概想了一下，怎麼覺得quasi-refexive也是對所有R成立啊...


  感謝!!!

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.214.32
推 MathTurtle:empty relation指的是domain 裡沒有任何東西有關係
→ MathTurtle:定義是 (x)(y)~Rxy
※ 編輯: gooogle79       來自: 140.112.214.32       (08/08 22:20)
→ MathTurtle:quasi-reflexive 不是對所有R都成立, 反例像是
→ MathTurtle:Rxy := x>y ; 在這例子中, 例如 2>1, 所以 (Ey)(Rxy v
→ MathTurtle:Ryx) (即: (Ey)(1>y or y>1) )成立, 但是 Rxx (1>1)
→ MathTurtle:不成立, 所以(x)[(Ey)(Rxy v Ryx) -> Rxx]不成立
→ gooogle79:(修內文)
→ gooogle79:那如果(Ey)的y=1呢?
推 MathTurtle:因為 (Ey)只需要有一個滿足就會成立。
→ MathTurtle:第一段的部份, 任何關係的R皆會滿足你給的自反定義,
→ MathTurtle:這個是可以證明出來的 (我文中給的是自然演譯法的證明)
→ MathTurtle:你說當 Rxx 不是必假的情況,  Rxx -> Rxx 還是恆真
→ MathTurtle:所以原本的證明仍然適用
→ gooogle79:我再想想，謝謝!!!
推 Yures:我也認為如同數龜學長說的，彭這邊的 scope 標錯了。
→ Yures:正好我今天下午會去找彭，謹慎起見我會問他這部份是否有誤。
→ gooogle79:我也要去找他耶!!!XDDD
推 Yures:結果老師因為當場還有其他同學，說「我回去再算算看」。XDD
→ gooogle79:XDDDDD