Re: [請益] 證明a=b,then b=a

[MathTurtle (恩典)]

※ 引述《chantaltw (nous)》之銘言：
: 這是台大邏輯考古題
: 題目是:使用推論規則證明 a=b /then b=a
: 我不太有頭緒要從哪證明起......
: 念數學的人說，要證明這個，要先知道a=b和b=a有不同
: 但根據定義，它們是相同的。所以如果他要證明，答案很可能是"根據定義"。
: 但哲學系應該不太會這樣子證明(?)
: 所以來請教大家，你們的想法。^^
嗯, a=b 和 b=a 的確不同, 一個是 'a' 在前面, 一個是'b'在前面。
在一般的述詞邏輯裡面, 如果有 '=' 這個述詞, 通常給的 axioms 只有下面兩條:
(1) for all x, x=x
(2) for all x for all y, if x=y, then Fx iff Fy
也就是只有 reflexivity 和 Leibniz's Law, 並不包含 a=b和b=a要等價。

至於證明的話, 就是要從 (1)和 (2) 推出 a=b, therefore b=a
1. a=b                          Ass.
2. a=a                          (1) UI
3. if a=b then a=a iff b=a      (2) UI
4. a=a iff b=a                  1, 3 MP
5. if a=a then b=a              4 'iff'
6. b=a                          2, 5. MP

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◆ From: 86.27.186.91
推 chantaltw:謝謝M大，你好厲害喔  我想問(2)裡面的F是什麼?
推 LiuSky:F表任一性質吧?
推 chantaltw:那Fx要怎麼用口語表達? 為什麼證明第三步中的a=a可代換
→ chantaltw:Fx，而Fy卻是用b=a代換。這裡我不太懂>"<
→ chantaltw:還有一個小問題，證明第一步Ass.是什麼? (沒看過..)
→ MathTurtle:對 F 表任一性質
→ MathTurtle:Ass. 表示 assumption (即你的前提)
→ MathTurtle:然後在第3步中是把 x用a, y用b, Fx 用 x=a 代
→ MathTurtle:所以 Fa 就會變成 a=a, Fb 就會變成 b=a
→ MathTurtle:而3就是 if a=b then Fa iff Fb
推 chantaltw:我懂了! 謝謝:)