※ 引述《deepfirer (大手要保護小手-b)》之銘言：
: 標題: [問題]一題國中的資優數學問題
: 時間: Tue Apr 3 12:07:21 2007
:
: 1-1000,哪些數字洽可分成五種連續奇數和...
: 例:
: 225= 225 第一種
: =73+75+77 第二種
: =41+43+45+47+49 第三種
: =17+19+21+23+25+27+29+31+33 第四種
: =1+3+5+7+.....+29 第五種
:
: 請問有幾個數字符合這個條件
: 請告知原因.....
: 國中資優班數學題目
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: ◆ From: 140.128.209.152
: 推 rehearttw:要「恰」五種還真不容易。我想想看... 04/03 12:40
: 推 rehearttw:題目應該限制「連續正奇數」和 04/03 12:53
: 推 rehearttw:奇數有五個：225,441,405,567,891：恰有9或10個正因數 04/03 13:06
抱歉！當時解出奇數，馬上要參加比賽，所以沒有繼續
後來高手陸續解出來，所以就放下來
現在提出較完整的解法：
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設符合的數字為 x，x為正整數，1<=x<=1000
設表示法的項數為 n，n為正整數
一、若 n 為正奇數，設其一種表示法為 (a為正整數)
x = (a-n+1) + (a-n+3) + ... + (a-2) + a + (a+2) + (a+4) + ... + (a+n-1) = an
明顯 a 為正奇數，故 x 為正奇數
而 a-n+1>0 ， a>n-1 知 a >= n
a 與 n 均為 x 的正因數，而 (a,n) 恰有五組解
則 x 為恰有 9 個正因數，或恰有 10 個正因數
（x 質因數分解完後，正因數個數 = 指數加 1 相乘）
(一)若 x 恰有一個質因數
則考慮最小可能為 x = 3^8 = 6581 超出範圍
(二)若 x 恰有兩個質因數，則
(1) x 恰有 9 個正因數時，（(2+1)(2+1)=9）
x = 3^2‧5^2 = 225
x = 3^2‧7^2 = 441
x = 3^2‧11^2 = 1089 超出範圍
x = 5^2‧7^2 = 1225 超出範圍
(2) x 恰有 10 個正因數時，（(4+1)(1+1)=9）
x = 3^4‧5 = 405
x = 3^4‧7 = 567
x = 3^4‧11 = 891
x = 3^4‧13 = 1053 超出範圍
x = 5^4‧3 = 1875 超出範圍
(三)若 x 有三個以上的質因數時
例如：x = a^p‧b^q‧c^r，則 (p+1)(q+1)(r+1) 不可能等於 9 或 10，故以上無解
二、若 n 為正偶數，設其一種表示法為 (a為正整數)
x = (a-n+1) + (a-n+3) + ... + (a-1) + (a+1) + (a+3) + ... + (a+n-3) + (a+n-1)
= an
明顯 a 必須為正偶數（因連續奇數和），而 x 為正偶數
2|a 且 2|n 且 a-n+1>0 => a>=n
設 a=2p，n=2q，p,q 均為正整數，p>=q
x = an = 4pq，1 <= x <= 1000，故 1 <= pq <= 250
(a,n) 恰有五組解，則 (p,q) 恰有五組解
且 p,q 不限制為奇數或偶數
因前之一： pq 為恰有 9 個正因數，或恰有 10 個正因數
(一)若 pq 恰有一個質因數
則考慮最小可能為 pq = 2^8 = 256 超出範圍
(二)若 pq 恰有兩個質因數，則
(1) pq 恰有 9 個正因數時，（(2+1)(2+1)=9）
pq = 2^2‧3^2 = 36 x = 144
pq = 2^2‧5^2 = 100 x = 400
pq = 2^2‧7^2 = 196 x = 784
pq = 2^2‧11^2 = 484 超出範圍
pq = 3^2‧5^2 = 225 x = 900
pq = 3^2‧7^2 = 441 超出範圍
pq = 5^2‧7^2 = 1225 超出範圍
(2) pq 恰有 10 個正因數時，（(4+1)(1+1)=9）
pq = 2^4‧3 = 48 x = 192
pq = 2^4‧5 = 80 x = 320
pq = 2^4‧7 = 112 x = 448
pq = 2^4‧11 = 176 x = 704
pq = 2^4‧13 = 208 x = 832
pq = 2^4‧17 = 272 超出範圍
pq = 3^4‧2 = 162 x = 648
pq = 3^4‧5 = 405 超出範圍
pq = 5^4‧2 = 1250 超出範圍
(三)若 pq 有三個以上的質因數時，則同前一(三)所述無解
將所有答案從小排列到大為
144 , 192 , 225 , 320 , 400 ,
405 , 441 , 448 , 567 , 648 ,
704 , 784 , 832 , 891 , 900
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rehearttw 許老師（Reheart-易懷），愛生公式，愛胡思亂想
自 1980 年摸魔術方塊，1981 年學基本公式，2006 年學 CFOP
個人魔術方塊網頁 http://rubiks.tw/~reheart/Rubiks-cube.htm
縮網址：http://rubiks.tw/Yhec （95/4/7更新、95/6/28改版、95/12/12換址）
益智玩具：http://rubiks.tw/~reheart/puzzle.htm 縮網址 http://rubiks.tw/EjKQ
請多多指教！
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※ 編輯: rehearttw 來自: 124.8.92.111 (04/14 06:25)