[問題] 數學題 - 有幾個解?

[jurian0101 (小維)]

大家午安！


【題目】已知  0≦X0<1  設 Xn+1 =  2*Xn        if 2Xn <1

                              =  2*Xn - 1    if 2Xn ≧1

則有____個X0 能符合條件 X5 = X0

A. 0   B. 1   C. 15   D. 31   E. 無窮多個

                                           ( 1993 美國AMC12 )

  不知道本題有沒有在本版出現過。難度：中易。

  解法不外乎拆高斯記號直接解、湊答案、以及從規律推理。
      (BTW，本題選項有利於湊答案&規律法。)

  不過既然叫做答案就不怕讓人解出。本題有個巧妙的方法，你能找到一目破解法嗎。


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 218.164.15.141
推 etrexetrex:題目沒提到2Xn = 1的時候該怎麼作耶?
→ terrorlone:你確定你 0<X_0<1 的條件沒抄錯？
→ terrorlone:應該有一邊是等號才合理吧
→ terrorlone:如果是那樣的話答案的確可以用瞪的瞪出來
推 etrexetrex:是A吧？
→ jurian0101:的確沒全抄對，我改一下
※ 編輯: jurian0101      來自: 218.164.15.141       (02/03 14:06)
→ etrexetrex:那B吧？
→ jurian0101:不是。先從例如X3=X0找規律
→ jurian0101: 0 的確一定是個解
→ terrorlone:好，那麼就完全可以用瞪的了。答案我不說，留給別人吧
推 etrexetrex:喔 是D啦
推 EIORU:我覺得是無限多 2a-1=a / 4a-1=a / 8a-1=a / ... a都是答案
推 etrexetrex:2^n * a-1 = a,      a = 1/(2^n-1)
→ etrexetrex:a = 1, 1/3, 1/7 , 1/15 , ...
→ etrexetrex:可是題目是要求X5 = X0, 不是要求 XN = X0