Re: [問題] 放不平的桌子

[walkwall (會走路的牆)]

※ 引述《walkwall (會走路的牆)》之銘言：
: 某甲 : 最近買的OO牌桌子品質真差，放在地上都無法四個腳同時著地
: 某乙 : 其實是你家的地不平吧，我買同樣一個牌子的桌子也沒這問題阿?
: 請問，如果桌子擺不平，到底是桌子本身的問題比較大，還是地面的問題比較大呢?
: 換句話說
: (A)如果桌子做的非常正，而地面有凹凹凸凸，桌子會不平嗎?
: (B)如果地面非常平，桌子的腳有點不正，桌子會不平嗎?
: 試證明之~









(解答在下頁)







(A)桌正地不平，桌子仍然可以放平

假設目前放不平

令桌椅四腳順時鐘依序為ABCD，則AC兩腳至地面的距離減去BD至地面的距離為一函數

因為放不平，故此函數目前狀態不為零

將桌面轉九十度，也就是A->B->C->D->A

因為桌正，故旋轉後上述函數的值應該與目前的值正負顛倒，絕對值相同

依中間值定理，只要地面連續，必然存在一個點可以使含數值為0

此時四腳著地，故得證



(B)桌歪地平，桌子仍然無法放平

考慮蹺翹板式桌面例子，即AC兩腳長度不變BD兩腳縮到最小

則不論如何旋轉，仍舊無法將四點均著地，故得證



結論：桌子無法放平，一定是桌子的問題 (END)

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◆ From: 140.117.169.167
※ 編輯: walkwall        來自: 140.117.169.167      (05/11 18:44)
推 puzzlez:=   =
→ walkwall:=___=?
→ aegius1r:(A)挺有意思的XD
推 puzzlez:等一下我也來證明我很帥=  =+
→ walkwall:什麼啦  XD
推 classam:所以這是在支撐的柱子是沒有體積的情況下成立?
→ walkwall:有體積也行  只要能保證函數變化連續就行
→ walkwall:只是沒體積比較好說他一定連續
推 FACE90006:帕索快証明\⊙▽⊙/
推 jurian0101:覺得這真棒  一定要講給很正的桌子...不，女生聽
推 jurian0101:拿張紙彎曲成曲面，以手指或迷你桌子放上去旋轉便可以
→ jurian0101:理解箇中原理。不過「放平」前提是地面接近平坦只有小
→ jurian0101:凹凸。否則地面若是傾斜45度就>>>!#%@#%
→ walkwall:很好玩吧  XD
推 weselyong:是，我本來想要舉的反例也跟樓上一樣 ＝ ＝"
→ walkwall:其實這問題也有實用性  因為去路邊攤常常會碰到桌子不平
→ walkwall:喔  我知道你們的意思  但是我們的命題是能放平  而非放
→ walkwall:平之後會不會倒下來  XD
→ walkwall:路邊攤的話,轉轉桌子還是不平的話就換一桌吃才是正解
推 isnoneval:嚴格說起來還要證地面連續則可以連續移動一個三角形才行
→ squirrel1085:為什麼d(A,S)=d(C,S)時 d(B,S)=d(D,S)也成立啊?
→ walkwall:不是  我們算的是d(A,S)+d(C,S)-d(B,S)-d(D,S)這個函數
→ walkwall:中間值定理保證  只要函數連續  前後各有一個有正負值
→ walkwall:則必然存在一點使這個函數為零
→ walkwall:此函數為零時  保證是d(A,S)+d(C,S)-d(B,S)-d(D,S)=0
推 isnoneval:那就要證差值為零的時候可以調到四腳著地吧
→ walkwall:=> d(A,S)+d(C,S)=d(B,S)+d(D,S) 這樣的點存在
→ walkwall:不用證了阿  因為放著的時候平面上四個值會有三個值為零
→ walkwall:因為上式  第四個值也為零
→ walkwall:需要寫那麼細嗎XD
→ walkwall:三個值為零的原因是三個點決定一個平面
→ squirrel1085:d(A,S)=-d(C,S) d(B,S)=d(D,S) 則函數值為0 但桌不平
→ squirrel1085:啊我知道意思了 這邊的平面未必是Z平面 而是任意平面
推 isnoneval:你要嘛就讓桌子自己轉, 轉到一個地方「放下來」還要能對
→ isnoneval:要嘛就證有方法可以讓它三腳貼地連續移到你要的位置
→ isnoneval:要真正證出來就要 cover 這個啊 XD
→ squirrel1085:剛剛打負值不對 是像d(A=0 d(B=d(D=1 d(C=2 這種case
→ squirrel1085:雖然桌子放不平 但是那個函數還是=0
→ squirrel1085:你說三點決定一平面所以三個0 就是不是只探討Z平面
推 isnoneval:我是覺得三腳貼地有機會啦, 但是我對幾何不熟補不出來
→ walkwall:三個零就是一個正的桌子放在連續的曲面上咩...
推 rehearttw:有沒有那個曲面，任四點不共面？
推 AlexCYW:不太可能
→ AlexCYW:如果是大致平坦的區面
→ AlexCYW:如果是球面...科科
推 isnoneval:這個問題應該是有人做過, 要問才知道
推 rehearttw:所以原 PO 的證明不完整。另外題目不是很嚴謹...
→ walkwall:= =  可以用其他題目的標準來檢視這題目嗎...
推 isnoneval:我沒說答案不對啦, 因為就是有討論的價值才會追究 XD
→ walkwall:上面那些推理題的題目很嚴謹嗎  答案很完整嗎?
推 isnoneval:因為上面的題目沒有辦法再發展了
→ walkwall:Q Q
→ isnoneval:但是這題如果可以補起來是很不錯的結論
推 rehearttw:我的意思是，如果要以數學來證明，應該要嚴謹
→ rehearttw:很多推理題，根本不是證明。這是很多人質疑的一點
→ rehearttw:不過我覺得，原 PO 的證明，拿來給中學生做科展，就有
→ rehearttw:很多東西可以寫了。到大學或研究所就會被教授質疑...
→ leads:在(A)中的証明中，你假設目前放不平，也就是說桌面不平行地
→ leads:面，然而線段AC與線段BD必相交(否則無法構成桌面)，且線段
→ leads:AC和線段BD屬於桌面，假設線段AC平行地面(否則將無法判定線)
→ leads:段AC與地面之距離)，則線段BD必不平行地面，因為若AC與BD相
→ leads:交，且AC和BD皆屬於平面甲，又AC和BD接平行平面乙，則平面甲
→ leads:必平行乙，也就是桌面平行地面，與一開始假設不合，固BD必不
→ leads:平行地面，所以我好奇的是，你是如何判斷BD和地面間的距離的
→ leads:?也就是說:當線段與平面不平行時，如何判定該線段和平面之距
推 leads:所以我認為你A的證明有前提上的錯誤
→ squirrel1085:樓上 他算的是d(A,S)+d(C,S)-d(B,S)-d(D,S)這個函數
推 jurian0101:我想d(A,S)的意義如果單純用距離，推導過程會有問題
推 whatai:請指正錯誤再哪
→ jurian0101:d(n,S) 不能以z軸投影。這樣即使找到滿足該函數=0的也
→ jurian0101:只是投影點，不等於「平的」放置點。只要想正方形的投
→ jurian0101:影會壓縮成菱形。
→ jurian0101:相信原PO是花了許多時間思考這個問題的。問題的敘述嚴
→ jurian0101:謹與否並不能否定它值得討論之處。問題是要設怎樣的前
→ jurian0101:提，太多無益，反而冗贅。
推 leads:話說因為有圖的關係 我直接回在我網誌上 網址如下
→ leads:http://www.facebook.com/note.php?created&&suggest&note_i
→ leads:d=116524155050513(對不起 不會縮網址)有興趣的人 看一下吧
推 chyrliin:http://ppt.cc/wCVu
推 puzzlez:有真相耶^^
推 puzzlez:我資質不好=  = 還請大家去看一下.....
推 cj6u40:我看到企鵝靈的真相！！（大驚）
推 chyrliin:哪裡？
→ leads:企鵝靈?那是甚麼?