Re: [問題] 幾個數學問題10

[jurian0101 (Hysterisis)]

※ 引述《EIORU ()》之銘言：
: (1) 用8個9和運算符號(加減乘除冪括弧)填入等號右邊
: 　　讓等式成立(兩邊算式不等價)
:     難度:★★★
: 　  ９９９９９９９９ = ___________
: (2) 1~9各一個和運算符號(加減乘除冪括弧)填入等號右邊
:     讓等式成立(兩邊算式不等價)
:     難度:★★★★
:     １２３４５６７８９ = ________________________
: 　　９８７６５４３２１ = ________________________


提醒: 以下大部分為失敗的嘗試XD，正解洽估狗即有~~
_______________________________________________


第二題，注意到乘方、相乘、加減三種運算，只用後兩個不可能完成

用log很容易驗證 A位數 x B位數 x C位數... 的乘積不大於 A+B+C...位數

所以一定要用到乘方，問題是怎麼用，用幾個。



先來看123456789

                                        k
假設只有一項用到乘方 是123456789 = A x B  + ... 的形式，

令X=123456789

我可以窮舉 Log(X) ≒ Log(A) + k Log(B) 約等於取非常接近，例如讓

k = Log(X/A) / LogB 差0.01 就是整數

實際測試過後發現，「表現良好」者只有以下

X =     497 ^ 3  +  693316   剩五位
X =     498 ^ 3  -  49203    剩五位 12567
X = 2 x 395 ^ 3  +  197039   剩四位
X = 2 x 396 ^ 3  -  741483   剩四位
X = 3 x 80  ^ 4  +  576789   80起碼要用3個數表示，剩四位
X = 5 x 291 ^ 3  +  245934   剩四位
X = 6 x 29  ^ 5  +  389895   剩五位 13478
X = 6 x 274 ^ 3  +  31845    剩四位 1589
X = 8 x 249 ^ 3  -  49203    剩四位 1567

只用乘法只有49203 (數x5) 有機會，但49203= 71*693= 9*5467 都殘念了

再把上面的餘項當成Y，用類似的方法分析是否能用乘方逼近

但還是殘念了

唯有倒數第三個式子，31845，如果允許多個0的話有個不錯的解

123456789 = 6 * 29^5 + (1+4)^8 - 730 !!! 又擅自加東西了@@ 大人饒命


-----------------暫時休息的分隔線---------------

那怎辦？一個乘方沒法足夠逼近，那答案必定是用到兩個乘方的形式，也就是

      c         f
 A x B  +  D x E  + ... 其中A,D一位數。B,E一到三位數

和上面不同之處在於，這兩個乘方項都很大，然後剩下的點點點項，理想中越迷你越好



經過暴力破解30'之後


還是沒有解!!!???


如果不理會數字不重複的話，目前找到的紀錄是用8個數字表達，即

123456789= 22^6 + 6^9 - 811

強烈懷疑此題無解，或者解法非常之大牛 且／或 神乎其技



又, 987654321的紀錄是以8個數表示 = 63^5 - 9^7 + 747




________更新_________

正解估狗到了，牛斃了，完全想不到乘上某個數可以幫助減少數字使用量

本題算是表人的特例啊啊啊啊～～



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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.213.88
※ 編輯: jurian0101      來自: 140.112.213.88       (06/03 03:36)
推 eagleofsouth:先聲明 我沒有用估狗，不過看到你說要乘上一個數
→ eagleofsouth:我猜應該是81 因為這是我一開始的方向
→ eagleofsouth:我一開始就發現 123456789*81=9999999909
→ eagleofsouth:所以從 (10^10-91)/81開始下手 再看數字要怎麼兜
→ eagleofsouth:試了幾次都沒成果 就放棄了 我以為方向錯誤?
→ eagleofsouth:看到你這篇文 我發現方向是正確的 再試一下 就解出了
→ eagleofsouth:應該是 123456789=((2*5)^(4+6)-91)/(78+3)
推 eagleofsouth:然後，8跟3可以對調，2*5跟6+4可以對調 一共有4解
→ eagleofsouth:987654321應用同樣的原理 乘81=80000000001
→ eagleofsouth:想了30分才兜出來 987654321=(8*(96+4)^5+1)/(3*27)
→ eagleofsouth:同樣的 6跟4可以對調 一共2解
推 jeffcc:{[(3+7)(4+6)]^5*8+1}/(9^2)=987654321 這一組比較好湊
推 jeffcc:反而是123456789想超過30分鐘，湊出來的式子和樓上一樣。