作者jurian0101 (Hysterisis)
看板puzzle
標題Re: [問題] 兩題無窮
時間Fri Jun 8 00:38:40 2012
※ 引述《ddtddt (得)》之銘言：
: 2.
: 根號(1+2*根號(1+3*根號(1+4根號(.... =??
: ________________________________
: / _______________________
: / / ______________
: \/ 1 + 2 \/ 1 + 3 \/ 1 + 4 ........
以下傷眼兼有雷注意
= =
理論上這樣的"實質無窮"要從"潛在無窮"來逼近，也就是寫成<A_n> n->Inf 來看
那A1=1, A2=Sqr(1 + 2), A3=Sqr(1 + 2 Sqr(1 + 3)) ...
遞增，必定
那上界呢...根本看不出來
這式子裡的"看不出的無限"實在是麻煩了
好，我先偷換成
f = Sqr(1 + x Sqr(1 + x Sqr(1 + x Sqr(1 + x Sqr(1 + ... 如何
因為 f^2 - 1 = x f , f = x/2 + Sqr(x^2 + 4)/ 2, 反過來補證明
<f_n> 遞增, check。 有上界, check 例如取 f < x+1, 當x很大。
所以f(x) 對所有實數x都收斂到一個約等於x的數
..還是無法直接用在原式，因為無窮層根號裡有個無窮 雖然直覺上這個factor
應該抵不過 ^(- 2^n) ，或是說開n次根號這個劇烈減小的作用啦
* *
那我轉而求另一個值求靈感，假裝原式裡的所有1都是0。
y = Sqr( 2 Sqr( 3 Sqr( 4 Sqr( 5 Sqr( ...
事實上應該只有前面幾個1被拿掉有比較大的影響，後面反正
[第一] 1 遠小於加號後的項
[第二] 1 位在n重根號裡面
所以這個值應該比原式 －－如果收斂的話－－ 小一點點，是不錯的估計值
Log y = Sum [Log[n] 2^(1-n), {n, 2, Infinity} ]
l.h.s 算式丟到Mathematica算得到
= -2 (PolyLog^(1,0))[0,1/2] 表示成特殊函數了
N[%] = 1.01567
Exp[%] = 2.67121
喔喔，所以可以想像原式應該比2.67大一點點而已
* *
好吧，還是沒有很好的方法可以證明其收斂性，只是我沒時間了所以直接跳
這很欠揍問題的理論上的答案
___
3 = V 9
__________
= V 1 + 2 x 4
___________
= V 1 + 2 V 16
__________________
= V 1 + 2 V 1 + 3 x 5
___________________
= V 1 + 2 V 1 + 3 V 25
__________________________
= V 1 + 2 V 1 + 3 V 1 + 4 x 6
= ...我是無限延伸的刪節號...
= 原式
3 的確比 2.76 大一點點，不管你怎想，這答案反正我是信了。
謝謝LPH66指點。
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.213.88
※ 編輯: jurian0101 來自: 140.112.213.88 (06/08 00:39)
推 LPH66:來, 這裡是個詳解: 06/08 01:00
推 ddtddt:能夠自己想很厲害 06/08 08:37
推 DreamYeh:這一題我認為是先有個結果，才去推出那題目 06/08 10:26
推 ddtddt:會這樣想應該是被看到的解法限制，一百年前的解不是這樣 06/08 11:02
→ ddtddt:此題有漂亮的通解，由天才數學家拉馬努金想出 06/08 11:04
→ jurian0101:ddt^2大給個referrence大家好欣賞如何? 06/10 15:25
→ jurian0101:找到了，關鍵字是Nested radical 06/10 15:37