[考題] 第三十五屆奧林匹克試題

[pttiee (簡單的幸福)]

今年第三十五屆奧林匹克題目請教
七年級
Q.26 導師有一捆原子筆要分給七位小朋友，先給甲一支，然後把剩下的1/8分給甲;
     接著剩餘的原子筆先給乙兩支，然後再把剩下的1/8分給乙;再來同樣剩餘的
     原子筆先給丙三支，然後又把剩下的1/8分給丙;接著剩餘的原子筆先給丁四支，
     然後又把剩下的1/8分給丁;最後把餘下的原子筆分給戊、己、庚三人;已知甲、
     乙、丙、丁所分得的原子筆一樣多，請問甲、乙、丙、丁共分到原子筆多少支?
     答:28支
八年級
Q.13已知n為自然數，且n與n+1的各位數字之和皆能被13整除，請問自然數n的最小值
    為多少?答:48999
Q.14已知五位數P中含有數字3且能被3整除，請問這樣的P共有多少個?
    答:12504個
Q.15求證:邊長、對角線都是整數的矩形，其面積必為6的倍數。

以上題目，請教解法!
請版上高手幫忙解題~謝謝!


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◆ From: 163.20.72.139
推 wudiwudi:Q26  設全部n支  得甲(n+7)/8  乙(7n+105)/64  甲=乙 解n
推 wudiwudi:Q13  由n和n+1的數字和為13的倍數可知  n的尾數必為9
→ wudiwudi:由n+1可知  前面必為48或57或66或75或84或93
→ wudiwudi:4+8+9=21  4+8+9+9=30  4+8+9+9+9=39  所以n為48999
推 wudiwudi:Q14  我用3的倍數的五位數30000個從中  減掉沒有3的
推 ntnusliver:Q15 長 寬 對角線分別是 a b c  a^2+b^2=c^2
→ ntnusliver:若 a b 都是奇數 => c^2 = 2 mod4 矛盾
→ ntnusliver:若 a b 都不是3的倍數 => c^2 = 2 mod 3 矛盾
→ pttiee:謝謝上面兩位高手，感謝!