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[不定積分][∫(x^n)/(1+(x^4)) dx]

寄件者：ㄚ肥呀 ([e-mail])
主旨：請問幾題積分 ∫(x^n)/(1+(x^4)) dx

  ∫(x^n)/(1+(x^4)) dx

　　　　　　　　 n
               Ｘ
      ∫ --------------- ｄＸ
　　　　　　１＋(Ｘ^4)


1.n ＝　０...................台大考題....不是粉好做

2.n ＝　１...................easy

3.n ＝　２...................求救

4.n ＝　３...................so  easy

5.n ＝　４...................回到 1 .


下面對不對我沒看，請你參考看看

提供者  [e-mail]


  ∫x^2/(1+(x^4)) dx =

因 1/(1+(x^4)) =1/((x^2+1)(x^2-√2 x+1)) + 1/((x^2+1)(x^2+√2 x+1))
   => (x^2+1)/(1+(x^4))=1/(x^2-√2 x+1) + 1/(x^2+√2 x+1)

=>∫x^2/(1+(x^4)) dx = ∫(x^2+1)/(1+(x^4)) dx -∫1/(1+(x^4)) dx
   =∫(1/(x^2-√2 x+1) dx + 1/(x^2+√2 x+1)) dx -∫1/(1+(x^4) dx)

  上左式的前式的解為
  ∫dx/(x^2-√2 x+1) =∫dx/((x-√2/2)^2 +1/2)
     (令 (x-√2/2) =√2/2tan y =>dx =√2/2.sec^2 y)
  =√2 y = √2 arctan (√2(x-√2/2)) ---(1)
  上左式的二式的解為
    ∫1/(x^2+√2 x+1)) dx =√2 arctan (√2(x+√2/2)) ---(2)
上左式的後式的解為
因 1/(1+(x^4)) =(1/2√2).1/(x(x^2-√2 x+1)) - 1/(x(x^2+√2 x+1))
               =(1/2√2).((x +√2 )/(x^2+√2 x+1) - (x -√2 )/(x^2-√2 x+1))
  => ∫ 1/(1+(x^4)) =(1/2√2).∫((x +√2 )/(x^2+√2 x+1) - (x -√2 )/(x^2
                                -√2 x+1)) dx
 又 (1/2√2).∫(x +√2 )/(x^2+√2 x+1) dx =(1/2√2).∫x/(x^2+√2 x+1) dx
                       +(1/2√2).∫√2/(x^2+√2 x+1) dx
      =-1/2 ln (1/((1+(x+√2/2)^2)^1/2) +(√2/2).arctan (√2(x+√2/2))
             ----(3)  (用 (2)式的方法可解之)
同理  (1/2√2).∫(x -√2 )/(x^2-√2 x+1) dx
       =-1/2 ln (1/((1+(x-√2/2)^2)^1/2) -(√2/2).arctan (√2(x-√2/2))

※ 編輯: FATTY2108       來自: 218.184.96.125       (03/07 18:47)