[定積分](0~2π)∫(1/4)(1-cost)^4(cost)^2dt

[FATTY2108 (阿肥好想進台大呀)]

[定積分] (0~2π) ∫(1/4) [(1-cosθ)^4] * [(cosθ)^2] dθ

發信站：  無名小站 ( telnet://wretch.twbbs.org ) vivion 是題目提供者

※ 引述《vivion (沒學校念了../@_@\)》之銘言：
>              2π
>            ∫   (1/4)*[(1-cosθ)^4]*[(cosθ)^2]dθ
>              0


上下限  0~2π應該可以用複變做(我不會)..........請教 眾大獅 吧

上下限  0~2π.......在初等微積分時，注意對稱和週期

  2π
  ∫   (1/4)*[(1-cosθ)^4]*[(cosθ)^2]dθ
  0
             ^^^^^^^^^^^^^
             半角代換
  2π
  ∫ 16*(1/4)*[[sin(θ/2)]^8]*[(cosθ)^2]dθ
  0
           化簡
  2π
  ∫       4*[[sin(θ/2)]^8]*[(cosθ)^2]dθ
  0
       令θ＝2u
 π
  ∫   8*[sin(u)]^8*[cos(2u)]^2 du
  0                  ^^^^^^^

cos(2u)＝1-2(sinu)^2

代入後展開  [1-[2(sinu)^2]]^2   再整理一下

   π
8  ∫[sin(u)]^8 - 4[sin(u)]^10 + 4[sin(u)]^12 du
   0

因為圖形對稱 u＝0.5π

   0.5π
16  ∫   [sin(u)]^8 - 4[sin(u)]^10 + 4[sin(u)]^12 du
    0

這有公式......代公式吧(公式由Beta函數導出)

    π      1*3*5*7       1*3*5*7*9       1*3*5*7*9*11
16 ----   [--------- 一4 ----------＋ 4 --------------- ]
    2       2*4*6*8      2*4*6*8*10     2*4*6*8*10*12

化簡

(49π)/32
--
有錯請指正　 n
ｌｉｍ（謝謝）              ←
 n→∞                   我呀肥阿
                       ↓真    是↑
                         的真的不
                            →
※ 編輯: FATTY2108       來自: 140.119.66.65        (05/11 14:12)
→ Kazarinov:應該沒錯....推....