推 FATTY2108:請問這是什麼語法 140.119.66.65 05/25
推 Cayley:Tex 140.116.114.21 05/25
※ 編輯: Cayley 來自: 140.116.114.21 (05/25 20:56)
※ 引述《ohluecar (線代好難啊)》之銘言：
: 請問一下
: 1 x^b - x^a
: ∫ ----------- dx
: 0 lnx
: 要怎樣化成二重積分來算呢
: 那是否有辦法不用化成二重積分一樣能算嗎
: 感謝各位的幫忙....
把x^b-x^a看成某個函數的反導函數,假設該函數是f(x)
顯然 $ \int_c^x f(t) dt = x^t $ 帶入上下限a,b會得到x^b-x^a的函數
左右微分
得 f(x)=x^t *ln(x)
所以...原積分式= $\int_0^1 \int_a^b x^t dt dx$
也就是對x-t平面上的矩形 (x,t) 屬於 [0,1] \cross [a,b] 積分
變換一下積分順序
$$
\int_a^b \int_0^1 x^t dx d\t //
=\int_a^b [ \frac{x^{t-1}}{t-1} ]_0^1 dt //
=int_a^b \frac{1}{1-t} dt //
= -[ln(1-t)]_a^b = ln (\frac{1-a}{1-b})
$$
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◆ From: 140.116.114.21