※ 引述《showwind (show)》之銘言：
: : f(x)= 0 若x為有理數
: :
: : x-x^2 若x為無理數
: : 問 ｆ 在哪些點連續？
f 在 x=0 與 x=1 上面連續. 首先我先證明 f 不可能在 0, 1 之外的點連續.
假設 f 在 c 上連續, c≠0, c≠1.
(1) c 是有理數.
根據實數的性質, 我們可以找一組無理數數列 a_n -> c.
因為 x-x^2 是實數上面的連續函數, 因此 lim f(a_n) = c-c^2≠0 = f(c).
n->oo
所以 f 不在 x=c 上連續.
(2) c 是無理數.
根據實數的性質, 我們可以找一組有理數數列 b_n -> c.
因此 lim f(b_n) = 0 ≠ c-c^2 = f(c), 所以 f 不在 x=c 上連續.
n->oo
所以現在只有兩種可能: f 在 1 或是 0 上連續.
(1) 0.
給定 ε>0, 取 δ = 1/2 min{1,ε} > 0. 那麼當 0 < |x-0|<δ 的時候, 都有
|f(x)-f(0)| = 0 < ε if x in Q.
= |x-x^2| < δ(δ+1)≦ε/2(1/2+1) < ε if x in R-Q.
所以 lim f(x) = f(0). 證完.
x->0
(2) 1.
這個是與(1)類似的.
: : THX~
: (1)連續條件: lim f(x) = f(c)
: x->c
: 根據實數的連續性:有理數與有理數之間必有無理數存在
: (2)設c為有理數 其周圍必有兩無理數 c1 < c < c2
: => lim f(x) = lim f (x) = lim x-x^2 = f(c) = 0
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: x->c1 x->c2 x->c
: 無理數 無理數 無理數 有理數
: 解得 c = 0 or 1
這個為什麼會對？假設 c 是有理數好了, 的確, 會有兩個無理數 c_1, c_2
滿足 c_1 < c < c_2. 接著我們來考慮兩個極限:
lim f(x) = c_1 - c_1^2, lim f(x) = c_2 - c_2^2.
x -> c_1, x -> c_2,
x in R-Q x in R-Q.
假設 c 真的是 0 or 1, 一般而言, c_1 - c_1^2≠0,
c_2 - c_2^2≠0.
(例如我們取 c=0, c_1=-√2, c_2=√2).
並且你的答案是建立在 c in Q 去求的. 當然答案是對的.
但是你並未說明 c in R-Q 是求不出答案的.
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