推 youyouyou:我覺得把2階改成一階的做法頗多餘~~抱歉喔 218.169.30.113 01/27
推 joeytseng:管他的...只是多提供一些可以成功的方法 61.223.134.231 01/27
推 joeytseng:原PO不見得學過(或能接受)二階ODE吧 !? 61.223.134.231 01/27
推 pianoman:沒學過微方 所以只會二階輔助 然後帶公式 61.66.162.27 01/30
※ 引述《anson0810 (奇  )》之銘言：
: ※ 引述《pianoman (明天會更好喔^^)》之銘言：
: : u''(x)+u'(x)=0 且 u(0)=-1 u'(0)=1
: : 求u(x)
: : 不好意思 又來麻煩大家了 謝謝
: 這一題很簡單..
^^^^^^^^^^^^^^ 不用這樣嗆人吧
[Solution 1.─Constant coefficient]
: 先令u(x)=e^λx
: 則u(x)'=λe^λx---------(a)
: u(x)''=λ^2e^λx------(b)
: 將(a)(b)代入式中
: 得λ^2e^λx + λe^λx =0
: e^λx(λ^2 + λ ) =0
: 解(λ^2 + λ ) =0 得到λ=0 or λ=-1
: 所以u(x) =Ae^0x + Be^-x 即===> u(x)=A + Be^-x ------(c) u(x)'=-Be^-x
: 在代入u(0)=-1 u'(0)=1條件
: 得 -1 = A + B
: 1 = -B 解之得 B =-1 A =0 代入(c)中
: 最後得到 u(x) = -e^-x #
: 希望對你有幫助~
[Solution 2.─Linear]
exp(x) [ u"(x) + u'(x) ] = exp(x)*0 = 0
[exp(x) u'(x)]' = 0
==> exp(x) u'(x) = c
故 u'(x) = c exp(-x)
又 u'(0) = c = 1 所以 u'(x) = exp(-x)
故 u(x) = -exp(-x) + k
又 u(0) = -1 + k = -1
所以 k = 0 ==> u(x) = -exp(-x) #
[Solution 3.─Separable] (較符合初微程度)
令 v(x) = u'(x)
則 原DE ==> v'(x)+v(x)=0
v'(x) = -v(x)
dv
------ = - v
dx
dv
∫ ------ = ∫ - dx
v
ln v = -x + ln k
==> v/k = exp(-x)
v = k exp(-x) 又 v(0)=1
所以 v(0) = k = 1 故 v(x) = exp(-x)
所以 u(x) = ∫v(x) dx = - exp(-x) + c
又 u(0) = -1
所以 u(0) = -1 +c = -1 ==> c=0
故 u(x) = - exp(-x) #
就本題而言，第一個方法應該是最好的
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