Re: 徵求 極限的定理證明

[erichugh (轉阿轉~~)]

※ 引述《Mrpapa (家濕國濕天下濕)》之銘言：
:   limf(x)*limg(x) = lim[f(x)*g(x)]
       L   *   M    =      LM
:   求高手幫忙  感恩
這裡有個小技巧  扣掉再補項

|(fg)(x)-L*M|=

|f(x)*g(x)-f(x)*M+f(x)*M-L*M| <= |f(x)|*|g(x)-M|+M*|f(x)-L|-----(1)

exist δ1 s.t(使得) when 0<|x-a|<δ1,|f(x)| <= |L|+1 成立-------(2)

(3)取δ:在 0<|x-a|<δ1 之條件下
        若能使|g(x)-M|<ε/[2(|L|+1)]
              |f(x)-L|<ε/[2(|M|+1)]
        則可由(1)知
              |(fg)(x)-L*M|<ε
        所以令
        ε2=ε/[2(|L|+1)]
        ε3=ε/[2(|M|+1)],
        由定義可知exist δ2,δ3 s.t
        0<|x-a|<δ2→|g(x)-M|<ε2
        0<|x-a|<δ3→|f(x)-L|<ε3
   因此 取δ=min(δ1,δ2,δ3)

由(1)(2)(3) we know that
if    0<|x-a|<δ

then  |(fg)(x)-L*M|<ε

so we know

lim f(x)*lim g(x)=lim (fg)(x)

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◆ From: 140.115.216.182
→ erichugh:(2)式是恆成立的
推 Mrpapa:感恩 <(_ _)>