Re: [多變] 求表面積

[beatitude (moth)]

※ 引述《aeiin (aeiin)》之銘言：
: X^2+Y^2+Z^2-2AZ=0  with 0 <= X^2+Y^2 <= BZ .assume A > B > 0
:                          "<=" 指小於等於
: 有能力的大大幫忙解吧!!!


    x^2 + y^2 = 2Az - z^2 <= Bz

 ->  z( z-(2A-B) ) >= 0  ->  z <= 0  or  z => 2A-B

因為  Bz => x^2 + y^2 => 0  ->    z => 2A-B

又因為  x^2+y^2+(z-A)^2 = A^2  ->  z <= 2A

->  2A-B <= z <= 2A


x = x   y = y   z = g(x,y) = A + √{ A^2 - x^2 - y^2 }



▕i  j     k   ▕  (gx,gy是偏微)
▕             ▕
▕1  0  gx(x,y)▕   = k - gx(x.y)i - gy(x,y)j
▕             ▕
▕0  1  gy(x.y)▕   = ai+bj+ck



面積   ∫∫√{a^2 + b^2 + c^2} dA
         R

                      x^2              y^2
    =  ∫∫√{  -------------- + -------------- + 1 } dA
         R       (A^2-x^2-y^2)    (A^2-x^2-y^2)

                      A^2
    =  ∫∫√{  -------------- } dA
         R       (A^2-x^2-y^2)


因為  x^2+y^2 = r^2 = 2Az - z^2

       r^2 = 0        when  z=2A

           = B(2A-B)  when  z=2A-B

換成極座標


        2π √{B(2A-B)}             r
    =  ∫  ∫               A ------------ drdθ
        0   0                  √{A^2-r^2}

                         ▕√{ B(2A-B) }
    =   -2πA √{A^2-r^2}▕
                         ▕0


    =   2πA {   √A^2 - √{ A^2 - 2AB + B^2 }    }


    =   2πA( A - A + B ) = 2πAB




答案有點怪  不確定對不對



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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 218.167.165.173
推 aeiin:好厲害!!答案是對的
推 aeiin:你的解法中，倒數第二行有錯吧!
推 beatitude:嗯..請指正
推 aeiin:sorry!!我看錯了，不過z小於2a是因為...???
推 beatitude:x^2+y^2+(z-A)^2=A^2  -> z <= 2A  第四行有..