Re: [極限] 極限兩題

[TtransH (7-23 is my day)]

※ 引述《RmX (...|||)》之銘言：
:   現在手上有兩題卡頗久了，想請教一下：
:   1.  若 n 屬於正整數， y_1= √(x) ， y_(n+1) = √(2+y_n)
:       (1) 試求一般項 y_n=?
:       (2) lim  y_n=?
:          n→∞
:    這題卡在求一般項的地方，而答案只有給第二小題的部份 2而已，
:    一直沒辦法求遞迴解，(一階二次...|||)
:    所以想請問一下板上的大大，有沒有什麼建議？
:   2. F(n) = [(n+1)(n+2)(n+3)...(n+n)]^(1/n)
:      求 lim  F(n) = ?   及 lim F(n)/n = ？
:        n→∞            n→∞
:    這題把 n 提出來後就卡住了，
:    是有想過要往 e的部份做，可是還是沒辦法進行順利。
:    答案：  2 , 4/e
:   麻煩有點子的大大點一下吧...謝謝~ <(_ _)>


   lim  n[(1+1/n)(1+2/n)+...+(1+n/n)]^1/n
  n→∞ _________________________________
                  n

        1
=  lim ___ ln[(1+1/n)(1+2/n)+...+(1+n/n)]
  n→∞ n
  e

         1
=  lim  ___ ln[(1+1/n)(1+2/n)+...+(1+n/n)]
  n→∞  n
 e

        1
=  lim ___ ln(1+1/n)+ln(1+2/n)+...+ln(1+n/n)]
  n→∞ n
 e
        n   1
=  lim Σ  ___*ln(1+k/n)
  n→∞k=1  n
 e

    1
   S  ln(1+x)dx
    0
= e
                 X     1
   [xln(x+1)-S ____ dx]
=               x+1    0
  e
                   1     1
   [xln(x+1)-S 1-____ dx]
= e               x+1    0

                       1
   [xln(x+1)-x+ln(x+1)]
= e                    0

   ln2-1+ln2-0
= e

   ln4-1
= e


= 4/e



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