Re: [積分] 心臟線所圍面積..

[Elfiend (小孩)]

: 題目
:     求曲線r= 2(1+sinx)之內部與曲線r= 2cosx之外部所為之面積

曲線r=2(1+sinθ)的面積為∫1/2 r^2 dθ

=∫1/2 [2(1+sinθ)]^2 dθ = 3θ - 4cosθ - 1/2(sin2x)

在     0≦θ≦1/2π  面積為3/2π-4(-1)  - 1/2(0-0)

在 1/2π≦θ≦2/2π  面積為3/2π-4(-1)  - 1/2(0-0)

在 2/2π≦θ≦3/2π  面積為3/2π-4(+1)  - 1/2(0-0)

在 3/2π≦θ≦4/2π  面積為3/2π-4(+1)  - 1/2(0-0)


曲線r=2(cosθ)為一個圓，半徑為1、圓心為(1,0)  面積都在y軸右邊

故心臟線在y軸左邊的面積皆在圓的外部

∴面積最少為3π，比參考解答 4-π還大，此參考解答有問題。



求交點： 2+2sinx = 2cosx  1=√2sin[π/4 - x]

得x= 0 or 3/2π(也是-1/2π)

所以交點：(r,θ) = (2,0)  (0,3/2π)

又在第四象限裡，圓包含了心臟線。

所以所求為心臟線在第一、二、三象限的面積 減去 圓在第一象限的面積

也就是9/2π+ 4 - 1/2π = 4π+ 4

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◆ From: 220.138.219.15
推 lgsfrank:我算3phi+4@@ 第二象限是3/2phi+4嗎?
推 Elfiend:嗯，計算過程都在上面了，可以對對看哪裡有問題
推 lgsfrank:嗯嗯~4phi+4