Re: [考古] 台大考題

[LuisSantos (^______^)]

※ 引述《LuisSantos (^______^)》之銘言：
: ※ 引述《feathersss (不定)》之銘言：
: : 請教幾題
: : 1.設一曲面其方程式為xy+yz+zx-x-z^2=0，
: : 則此曲面上以xy平面為其切平面的點，其坐標為?
: : 2.試証2/π < sinx < x，當0 < x < π/2
:         ^^^^
:         題目應該是(2/π)*x 吧
: 這個左半邊2/π < sinx該怎麼做呢?
: 令 f(x) = sinx - (2/π)*x
:    f'(x) = cosx - (2/π)*x
:    f''(x) = -sinx < 0 恆成立
:    所以 f(x) 在 0 < x < π/2 時為凸函數
:    且 f(0) = f(π/2) = 0  所以 f(x) > 0
:    即 sinx - (2/π)*x > 0 , sinx > (2/π)*x
:   3.在10-1/150，10-1/100，10-1/200之三數中，哪一個數與998^(1/3)最接近?

     設 f(x) = x^(1/3) , x =1000  f'(x) = (1/3)*x^(-2/3)  Δx = -2

     因為 f(x + Δx) ≒ f(x) + f'(x)*Δx

     所以  998^(1/3) ≒ 1000^(1/3) + (1/3)*[(1000)^(-2/3)]*(-2)

                     = 10 + (1/3)*(1/100)*(-2)

                     =10 - (1/150)

     所以 10 -(1/150) 最為接近

    4.方程式：2x+y=1及(1+h)x+h^2y=1表相交於一點之兩直線，當h趨近於1時，
: : 此交點之極限位置為?

    2x+y=1 ------------(1)
    (1+h)x+h^2y=1------(2)

    (1)*(h^2) - (2) => (2*h^2 -h - 1)x = h^2 -1 => x = (h + 1)/(2h +1)

    (1)*(1 + h) - (2)*2 => (1 + h - 2*h^2) = h - 1 => y = (-1)/(2h + 1)

                   h +1              -1           2    -1
    (x,y) = ( lim -------     lim -------- ) = ( ---   --- )
              h->1 2h +1   ,  h->1 2h + 1         3  ,  3

: : 5.平面上介於y(x^2+1)=x及xy=1兩曲線之間，且值於直線x=1右方的區域的面積=?
: : y(x^2+1)=x的面要怎麼畫呀?
 6.若A為拋物線y=6x-x^2及直線y=x所圍成的封閉區域，則A的形狀中心為?
 不懂形狀中心是什麼意思?

                 ∫∫xdA         ∫∫ydA
                R               R
   形狀中心 = ( ---------      ---------- )
                    A      ,        A

         5  6x-x^2
   A = ∫ ∫       dydx
         0  x

         5   |y = 6x-x^2
     = ∫  y |           dx
         0   |y = x

         5                    5        1     |5    125
     = ∫  (5x - x^2) dx = ( ---x^2 - ---x^3)|  = -----
         0                    2        3     |0     6

                 5  6x-x^2
     ∫∫xdA = ∫ ∫      xdydx
    R            0  x

                 5     |y = 6x-x^2
             = ∫  x*y |           dx
                 0     |y = x

                 5
             = ∫  (5*x^2 - x^3) dx
                 0

                  5        1     |5    625
             = ( ---x^3 - ---x^4)|  = -----
                  3        4     |0    12


                5  6x-x^2
    ∫∫ydA = ∫ ∫      ydydx
   R           0  x

                5   1       |y = 6x-x^2
            = ∫  (---)*y^2 |           dx
                0   2       |y = x


                1     5
            = (---)*∫  [(6x - x^2)^2 - x^2] dx
                2     0

                1     5
            = (---)*∫  (x^4 - 12*x^3 + 35*x^2) dx
                2     0

                1     1                35     |5
            = (---)*(---x^5 - 3*x^4 + ----x^3)|
                2     5                 3     |0

                1                  4375      625
            = (---)*(625 - 1875 + ------) = -----
                2                    3        6


                      625     625
                     -----   -----
                      12       6          5
    所以形狀中心 = ( ----- , ----- ) = ( --- , 5 )
                      125     125         2
                     -----   -----
                       6       6

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 61.66.173.21
推 feathersss:謝謝~第4、6題都懂了
→ feathersss:但第3題用求近似值的方法求出來一定最接近嗎?
推 LuisSantos:是的
※ 編輯: LuisSantos      來自: 61.66.173.21         (07/23 23:31)