→ jaykinki:謝謝你 麻煩你了 61.227.126.226 07/11
※ 引述《jaykinki (...)》之銘言：
: 之前有問過不過沒人理我Orz
: 可能是我寫的很亂XD
: 這次又麻煩大家了@@
: 85年 想要製作一個容量為1/3立方公寸的直圓錐形容器 則底半徑應為多少
: 才使 所用的材料最少?(即全部表面積最小?)
設直圓錐底半徑 r ,高 h (無底面積)
1 1
已知 V = ---π(r^2)h = --- 表面積 = A(r , h) = πr(r^2 + h^2)^(1/2)
3 3
1
h = ---------- 代入上式得
π*(r^2)
1 1
A(r) = πr(r^2 + --------------)^(---)
(π^2)*(r^4) 2
(π^2)*(r^6) + 1 1
= πr(------------------) = (---)*((π^2)*(r^6) + 1)
(π^2)*(r^4) r
6*(r^5) 1
(r)*(------------------------------) - ((π^2)*(r^6) + 1)^(---)
2*(((π^2)*(r^6) + 1)^(1/2)) 2
=> A'(r) = -----------------------------------------------------------------
r^2
(3)*(π^2)*(r^6) - (π^2)*(r^6) - 1
= ------------------------------------
(r^2)*(((π^2)*(r^6) + 1)^(1/2))
(2)*(π^2)*(r^6) -1
= ----------------------------------
(r^2)*(((π^2)*(r^6) + 1)^(1/2))
1 1
令 A'(r) = 0 => (2)*(π^2)*(r^6) - 1 = 0 => r = (------------)^(---)
(2)*(π^2) 6
且 A'(r-) < 0 , A'(r+) > 0
1 1
所以 r = (------------)^(---) 表面積 A(r) 有最小值 即材料最省
(2)*(π^2) 6
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