※ 引述《beatitude (何時能入物理系?)》之銘言：
: ※ 引述《hwujialuen (松原拓)》之銘言：
: : Evaluate the surface integral
: : 1 ∫ ∫xy dS
: : S
: : S is the boundary of the region enclosed by the cylinder
: : x^2 +z^2=1 and the planes y=0 and x+y =2
: x=x , y=y , z=√(1-x^2)
: 1
: J = ----------
: √(1-x^2)
: 1 2-x xy
: ∫ ∫xy dS = ∫ ∫ ---------- dydx
: S -1 0 √(1-x^2)
: 1 x(2-x)^2
: = ∫ ------------ dx
: -1 2 √(1-x^2)
: 1 x^3 - 4x^2 + 4x
: = ∫ -------------------- dx
: -1 2 √(1-x^2)
: 1 (-2) x^2
: = ∫ ------------- dx (奇函數消掉)
: -1 √(1-x^2)
: let x=sint
: pi/2 pi/2
: = ∫ (-2) (sint)^2 dt (因為 ∫ (sint)^2 +(cost)^2 dt
: -pi/2 -pi/2
: pi/2
: 1 = ∫ 1 dt = pi )
: = (-2)(---)(pi) -pi/2
: 2
: = -pi
: 最後因為有上下兩面(z>0,z<0) 所以要乘2
少算了 S1: y=0 ,S2: x+y=2 兩個面
補算:
∫ ∫ xy dS = ∫∫0 dS = 0
S1 S1
-----------------------------------
x=x , y=2-x , z=z
J = √2
∫ ∫ xy dS = ∫∫x(2-x)√2 dxdz
S2 S2
2pi 1
= √2 ∫ ∫ rsint(2-rsint) rdrdt
0 0
2pi 2 1
=√2 ∫ ---sint - ---(sint)^2 dt
0 3 4
-1 1 -√2
= √2(---)(---)(2pi) = -----pi
4 2 4
: ans:"可能是" -2pi
: : 2 Evaluate the surface integral ∫ ∫F dS
: : S
: : F(x,y,z)=yj -zk
: : S consists of the paraboloid y= x^2 +z^2 ,0<y<1 ,and the
: : disk x^2 +z^2 ≦1 ,y=1
: 這題用div ∫∫∫(1-1)dv = 0
: V
: : 3 ∫ ∫(x^2 +y^2 +z^2)dS
: : S
: : S consists of the cylinder in Exercise 10 together with
: : its top and bottom disks
: : Exercise10: S is the part of the cylinder x^2 +y^2=9
: : between the planes z=0 and z=2
: S = S1 + S2 + S3
: let S1:surface of the cylinder x^2 +y^2=9
: S2:the planes z=0 between cylinder x^2 +y^2=9
: S3:the planes z=2 between cylinder x^2 +y^2=9
: ∫ ∫(x^2 +y^2 +z^2)dS
: S1
: 2pi(3) 2
: = ∫ ∫ 9 + z^2 dzds
: 0 0
: = (18+ 8/3)6pi
: ∫ ∫(x^2 +y^2 +z^2)dS
: S2
: = ∫ ∫ x^2+y^2 dS
: S2
: 2pi 3
: = ∫ ∫ r^2 rdr dt
: 0 0
: = (81/4)2pi
: ∫ ∫(x^2 +y^2 +z^2)dS
: S3
: = ∫ ∫ x^2+y^2 + 4 dS
: S3
: 2pi 3
: = ∫ ∫ (r^2 + 4 )r drdt
: 0 0
: = (81/4 + 18)2pi
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