Re: [極限]一個求極限問題

[josephw (rhythm)]

※ 引述《JimCroce (我要下五子棋 ￾N￾ )》之銘言：
:               1                   1
: lim   [----------------   -  ----------}
: x->0    ln(x+√(1+x^2))        ln(1+x)
:  請問這要怎樣做??
: 抱歉他上面沒標明是哪一年的考古!


  ln(x+√(1+x^2)=(sinh^-1 x) = x+ x^3/6 +o(x)     x->0

         1                     1             1       x
=> --------------- =   ---------------  =   ---  +  --- +o(x)      x->0
   ln(x+√(1+x^2))      x- x^3/6 +0(x)       x       6

  ln(1+x)= x- x^2/2 +0(x)            x->0

      1          1       1       x
=> -------  =   ---  +  ---  +  ---  + o(x)       x->0
   ln(1+x)       x       2       4

                  1                   1
     lim   [----------------   -  ----------}
     x->0    ln(x+√(1+x^2))        ln(1+x)

                 1     x              1     1     x
      lim   [ ( --- + --- +o(x) ) - (--- + --- + --- + o(x)  ]
 =    x->0       x     6              x     2     4

    -1
 =  ---
     2




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  如果有錯請指教   ^^

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              靈感       源自於累積已久的情緒

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 219.91.84.129
推 hwujialuen:不懂sinh^-1 x 為什麼等於右式
推 ying1019:請問是使用泰勒公式嗎??
推 GBRS:這是定理阿...令y=sinh^-1 x...sinhy=x
→ GBRS:代入雙取正弦的定義可得到一個二次方程式
→ GBRS:解到最後取正號再對兩邊取ln即可...
推 ying1019:請問o(x)是代表餘項對不對呢??老劉教過但忘了..
→ GBRS:是低...
推 josephw:對阿  用泰勒再除