推 hotdave:第2題答案6 +1 61.62.186.228 07/20
※ 引述《siyen (衝勁)》之銘言：
:第2題
:請問一下這題的答案是-sinxπ嗎?
: d π
: ----- ∫ sin xy dy = ?
: dx 0
Leibniz微分
d u(x) u(x)
---∫ f(x,t)dt = ∫ f`(x,t)dt +f[x,u(x)]*u`(x) -f[x,v(x)]*v`(x)
dx v(x) v(x)
π
原式 =∫ ycosxy dy = y/x*sinxy + 1/x^2 * cosxy
0
= πsin(πx)/x + cos(πx)/x^2
:還有第一題
:
: (e^x-1)^3
: lim _____________ =?
: x→0 (x-2)e^x+x+2
:
:我怎麼算都是 0 耶...可是我記得答案不是0 會的人麻煩教我一下
法一：羅必達
3e^x(e^x -1 )^2 3e^x(e^x -1 )^2 + 6e^(2x)(e^x -1 )
lim ------------------ = lim -------------------------------------
x→0 e^x +(x-2)e^x +1 L`H x→0 xe^x
3(e^x -1 )^2 + 6e^x(e^x-1) 6e^x(e^x-1) +6*2e^2x - 6e^x
lim ----------------------------- = lim -----------------------------
x→0 x L`H x→0 1
= 12 - 6 = 6
法二：Taylor
∞
e^x = Σ x^n /n! = 1 + x + x^2/2 + x^3/6 + ‧‧‧ + x^n/n +‧‧‧
n=0
= 1 + x + x^2/2 + x^3/6 + R()
(e^x-1)^3 ( x +x^2/2 +x^3/6 + R() )^3
lim _____________ = lim -----------------------------
x→0 (x-2)e^x+x+2 x→0 1/6*x^3 + xR()- 2R()
( 1 + x/2 + x^2/6 + R()/x )^3 x^3
=lim ------------------------------- * ---- (從分子提x出來)
x→0 1/6*x^3 + xR()- 2R() 1
( 1 + x/2 + x^2/6 + R()/x )^3
=lim ------------------------------- 因R()皆為x^4以上 故R()/x^3還有x
x→0 1/6 + R()/x^2 - 2R()/x^3
(1)^3
= --------- = 6
1/6 +0
個人小感想：習慣羅必達就用羅必達，會用泰勒才用泰勒。
因為不習慣用泰勒卻硬用反而更容易出錯。
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以上，有錯請指正。
另外，建議原PO，別將題目放在--之後(簽名檔位置) 因為回應會看不見題目
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