※ 引述《Elfiend (小孩)》之銘言：
: ※ 引述《siyen (衝勁)》之銘言：
: :第2題
: :請問一下這題的答案是-sinxπ嗎?
: : d π
: : ----- ∫ sin xy dy = ?
: : dx 0
: Leibniz微分
: d u(x) u(x)
: ---∫ f(x,t)dt = ∫ f`(x,t)dt +f[x,u(x)]*u`(x) -f[x,v(x)]*v`(x)
: dx v(x) v(x)
請問
y/x*sinxy 是對 ycosxy 這個式子做x的微分
而請問第二個式子 1/x^2 * cosxy 是怎麼來的?
謝謝你
: π
: 原式 =∫ ycosxy dy = y/x*sinxy + 1/x^2 * cosxy
: 0
: = πsin(πx)/x + cos(πx)/x^2
: :還有第一題
: : (e^x-1)^3
: : lim _____________ =?
: : x→0 (x-2)e^x+x+2
: :我怎麼算都是 0 耶...可是我記得答案不是0 會的人麻煩教我一下
: 法一：羅必達
: 3e^x(e^x -1 )^2 3e^x(e^x -1 )^2 + 6e^(2x)(e^x -1 )
: lim ------------------ = lim -------------------------------------
: x→0 e^x +(x-2)e^x +1 L`H x→0 xe^x
: 3(e^x -1 )^2 + 6e^x(e^x-1) 6e^x(e^x-1) +6*2e^2x - 6e^x
: lim ----------------------------- = lim -----------------------------
: x→0 x L`H x→0 1
: = 12 - 6 = 6
: 法二：Taylor
: ∞
: e^x = Σ x^n /n! = 1 + x + x^2/2 + x^3/6 + ‧‧‧ + x^n/n +‧‧‧
: n=0
: = 1 + x + x^2/2 + x^3/6 + R()
: (e^x-1)^3 ( x +x^2/2 +x^3/6 + R() )^3
: lim _____________ = lim -----------------------------
: x→0 (x-2)e^x+x+2 x→0 1/6*x^3 + xR()- 2R()
: ( 1 + x/2 + x^2/6 + R()/x )^3 x^3
: =lim ------------------------------- * ---- (從分子提x出來)
: x→0 1/6*x^3 + xR()- 2R() 1
: ( 1 + x/2 + x^2/6 + R()/x )^3
: =lim ------------------------------- 因R()皆為x^4以上 故R()/x^3還有x
: x→0 1/6 + R()/x^2 - 2R()/x^3
: (1)^3
: = --------- = 6
: 1/6 +0
: 個人小感想：習慣羅必達就用羅必達，會用泰勒才用泰勒。
: 因為不習慣用泰勒卻硬用反而更容易出錯。
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