※ 引述《As7Xk (星)》之銘言：
: ※ 引述《Elfiend (小孩)》之銘言：
: : Leibniz微分
: : d u(x) u(x)
: : ---∫ f(x,t)dt = ∫ f`(x,t)dt +f[x,u(x)]*u`(x) -f[x,v(x)]*v`(x)
: : dx v(x) v(x)
: 請問
: y/x*sinxy 是對 ycosxy 這個式子做x的微分
: 而請問第二個式子 1/x^2 * cosxy 是怎麼來的?
: 謝謝你
d π
題目----- ∫ sin xy dy
dx 0
ycosxy 是 sin xy 對x偏微來的
所以
: : π
: : 原式 =∫ ycosxy dy = y/x*sinxy + 1/x^2 * cosxy
: : 0
這裡用ＩＢＰ 分部積分來的
: : = πsin(πx)/x + cos(πx)/x^2
: : 法一：羅必達
: : 3e^x(e^x -1 )^2 3e^x(e^x -1 )^2 + 6e^(2x)(e^x -1 )
: : lim ------------------ = lim -------------------------------------
: : x→0 e^x +(x-2)e^x +1 L`H x→0 xe^x
: : 3(e^x -1 )^2 + 6e^x(e^x-1) 6e^x(e^x-1) +6*2e^2x - 6e^x
: : lim ----------------------------- = lim -----------------------------
: : x→0 x L`H x→0 1
: : = 12 - 6 = 6
: : 法二：Taylor
: : ∞
: : e^x = Σ x^n /n! = 1 + x + x^2/2 + x^3/6 + ‧‧‧ + x^n/n +‧‧‧
: : n=0
: : = 1 + x + x^2/2 + x^3/6 + R()
: : (e^x-1)^3 ( x +x^2/2 +x^3/6 + R() )^3
: : lim _____________ = lim -----------------------------
: : x→0 (x-2)e^x+x+2 x→0 1/6*x^3 + xR()- 2R()
: : ( 1 + x/2 + x^2/6 + R()/x )^3 x^3
: : =lim ------------------------------- * ---- (從分子提x出來)
: : x→0 1/6*x^3 + xR()- 2R() 1
: : ( 1 + x/2 + x^2/6 + R()/x )^3
: : =lim ------------------------------- 因R()皆為x^4以上 故R()/x^3還有x
: : x→0 1/6 + R()/x^2 - 2R()/x^3
: : (1)^3
: : = --------- = 6
: : 1/6 +0
: : 個人小感想：習慣羅必達就用羅必達，會用泰勒才用泰勒。
: : 因為不習慣用泰勒卻硬用反而更容易出錯。
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