※ 引述《Dirichlet ( )》之銘言：
: π/2 n+1 2
: ∫ 2 (sinx) (cosx) dx = ? (n 是自然數包含 0 )
: 0
Wallis 公式
π/2 n π/2 n
I_n = ∫ sin x dx = ∫ cos x
0 0
n - 1 n - 3 1 π
------- ------- ... --- --- , n 是偶數
n n - 2 2 2
則 I_n =
n - 1 n - 3 2
------- ------- ... --- . 1 , n 是奇數
n n - 2 3
π/2 n+1 2
所以 ∫ 2 (sinx) (cosx) dx
0
π/2 n+1 2
= ∫ 2 (sinx) (1 - sin x) dx
0
π/2 n+1 π/2 n+3
= 2(∫ (sinx) dx - ∫ (sinx) dx) ----------(＊)
0 0
(1) 當 n 為奇數時
n+1 和 n+3 皆為偶數
n n - 2 1 π n + 2 n 1 π
所以 (＊) => 2(------- ------- ... --- --- - ------- ------- ... --- ---)
n + 1 n - 1 2 2 n + 3 n + 1 2 2
n + 2 n 1 π
= 2(1 - -------) (-------) ... (---)(---)
n + 3 n + 1 2 2
2 n 1 π
= (-------)(-------) ... (---)(---)
n + 3 n + 1 2 2
π n 1
= (-------)(-------) ... (---)
n + 3 n + 1 2
(2) 當 n 為偶數時
n+1 和 n+3 皆為奇數
n n - 2 2 n + 2 n 2
所以 (＊) => 2(------- ------- ... --- . 1 - ------- ------- ... --- . 1)
n + 1 n - 1 3 n + 3 n + 1 3
n + 2 n 2
= 2(1 - -------)(-------) ... (---)
n + 3 n + 1 3
1 n 4
= (-------)(-------) ... (---)
n + 3 n + 1 3
由(1)(2)
π/2 n+1 2
∫ 2 (sinx) (cosx) dx
0
π n 1
(-------)(-------) ... (---) n 為奇數
n + 3 n + 1 2
=
1 n 4
(-------)(-------) ... (---) n 為偶數
n + 3 n + 1 3
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