推 topractise:大概懂了~~~感恩感恩^^~~~ 09/21 19:19
推 Lancedragon:漂亮...受教了：P謝謝 10/10 04:56
※ 引述《topractise (睡覺中)》之銘言：
: limit要用實數 是因為實數能在實軸上表示 才能"趨近"某數嗎?
不是一定要用實數
基本上 limit是要先建立在metric space上
(聽不懂沒關係)
這樣說好了 你要討論的所要"要求"任意靠近("要有多近就有多近")
必須發生在有距離意義的空間或場所中
而real number axis(即你所謂的實數軸)剛好只不過是其中一個這樣的場所
那要什麼樣的條件下才能達到這種"要有多近就有多近"的結果呢?
這時就需要一個domain 它可以對應到剛剛我們講的那個space
比如如果是實數軸上的sequence, domain通常就是natural number N
而limit定義要求的就是足碼(下標)足夠大 (n趨近無限大;
其實應該說:要有多大 就能多大)
大到能應付你的"接近程度"要求
如果是function的limit, domain就是function的domain
而metric space有太多了
RxR(實平面) R^3(實三度空間) C(複平面)...都是
其實還可以建構出很多可以做極限的空間(蠻抽象的 高微一開始就講這個)
實數軸只不過是其中之一罷了
: 又limit是指"任意"趨近某數 阿我們現在只有教到左右兩邊的趨近而已
: 難道"任意"趨近 就不會從其它地方趨近了嗎??
: 補習班還沒開課 所以在這裡問小問題 不好意思...
如同我剛剛講的 如果你的function可以討論limit
它的domain又比如說是R^2
那就是平面上任意方向囉
如果是domin是R^3 就是你用肉眼可以感覺到的"任意"方向
實數軸之所以只從左右兩邊 是因為實數軸的幾何維度是1
就像一隻只能在直線上爬的螞蟻(比方說)
來來去去就是前進 不然後退
放到一張紙上才能比較亂爬
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最後我要說
上面的討論看起來好像不怎樣
但我很佩服Cauchy
在他以前的數學工作者 是不大有這樣清楚的觀念
如果沒有清楚的極限觀念
學到導函數時
你會常常問自己 是0/0嗎? 兩個無窮小量怎麼相除?
Cauchy光是做出極限對於微積分分析的工作 就永垂不朽了
(何況他搞出一大堆東西, 產量僅次Euler)
基本上我剛剛所講的 就是極限ε-δ定義的想法
主要功勞是Cauchy和Weierstrass
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