Re: [幫忙] 一題微積分

[michael2 (妳對我好重要)]

※ 引述《Elfiend (小孩)》之銘言：
※ 引述《fish0612 (誰叫我是魚大王)》之銘言：
:                    1/2
:   π/2        (sinx)
: ∫      -------------------   dx
:   0           1/2      1/2
:          (sinx) + (cosx)
: 或是
:                    1/2
:   π/2        (cosx)
: ∫      -------------------   dx
:   0           1/2      1/2
:          (sinx) + (cosx)
--
推 ganlinliu:為什麼 I = J 呢?
我來回答推文

                    1/2
   π/2        (sinx)
 ∫      -------------------   dx
   0           1/2      1/2
          (sinx) + (cosx)

           1/2
同除  (cosx)


                    1/2
   π/2        (tanx)
 ∫      -------------------   dx
   0           1/2
          (tanx) + 1


let tanx = y     dy/dx= sec^2x =1+tan^2x= 1+y^2

所以 dx= dy/(1+y^2)


       ∞      y^1/2        dy
原積分 ∫ ------------- * -----
       0     y^1/2  +1    1+y^2

第二種情況

                    1/2
   π/2        (cosx)
 ∫      -------------------   dx
   0           1/2      1/2
          (sinx) + (cosx)

          1/2
同除 (sinx)

                    1/2
   π/2        (cotx)
 ∫      -------------------   dx
   0                  1/2
             1 + (cotx)

let cotx= z

dz=-csc^2x = -(1+cot^2x)= -(1+z^2)



        0      z^1/2       -dz
原積分 ∫ ------------- * -----
       ∞   1 + z^1/2     1+z^2


       ∞      z^1/2        dz
    =  ∫ ------------- * -----
       0     z^1/2  +1    1+z^2


       ∞      y^1/2        dy
    =  ∫ ------------- * -----
       0     y^1/2  +1    1+y^2


所以兩個是一樣的


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 61.222.3.216
推 mouwat:其實如果從圖形上講的話應該是十分容易理解的
推 ganlinliu:巧妙ㄚ