推 dohard:我了解了thx 05/11 12:15
※ 引述《dohard (hello)》之銘言：
: 1.e和ln是反函數關係 所以會有e^lnx=x 那麼e^lnu(x)=u(x)也是反函數關係嗎
: ^^^^^^^^^^^^^
: 如果是 麻煩解說一下 因為我看到是x的函數就有
: 點不能接受
: 2.積分公式我感覺要背很多耶@@
: 我看板上有人說只要會微分積分就會輕鬆許多
: 那麼請問一下 u'(x)/(a^2+x^2) 對x積分會等於 1/u*arctan(a/u)+c
: 要如何與微分相連接呀 (我只會arctanx的微分等於1/(1+x^2))
: 麻煩大家
第一個有個大大提過了，如果你把u(x)當成x看，就ok了
而第二個，我想你要問的應該是這個
亅 1/(u^2 + a^2) du = (1/a)tan^-1 u/a + c
u'(x)就是對u裡的x微分，所以就是du的意思，所以應該是這個
至於你的1/u*arctan(a/u)+c 應該是你筆誤了，應該是arctan(u/a)
不過我太清楚你的問題在哪，是不知怎麼積分，還是不懂跟微分有何關係，所以就直接
積一次嘍！
首先亅 1/(u^2 + a^2) du = (1/a)tan^-1 u/a + c
要用三角代換法，
令 u =atanx
du =asec^2x．dx
亅[1/a^2(tan^2 x + 1)]．a sec^2 x dx 在這裡tan^2 x+1等於sec^2 x (這是微分的常識)
而分母的a^2可以跟分子的a 消掉一次方，剩分母的一次方
= 亅1/a ．( sec^2 x/sec^2 x ) dx 分母分子可消掉
= 亅1/a ．dx
= (1/a)．x
ok，積完分了，
因為剛剛使用變數變換
所以得還原回來
令u = atan x => u/a = tan x
tan^-1 u/a = x (這也反函數的性質)
所以說：原式(1/a)．x = (1/a)tan^-1 u/a + c
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