※ 引述《ilovecurl (ilovecurl)》之銘言：
: 5 √(25-x^2) √(25-x^2-y^2)
: ∫∫ ∫ 1/(1+x^2+y^2+z^2)dzdydx
: 0 0 0
以下是研究過後寫的解法...不知道對不對,因為φ和Θ的積分範圍我不知道對不對
,應該如何選則呢,高手幫忙看一下吧,謝謝!
令x=ρsinφcosΘ; y=ρsinφsinΘ; z=ρcosφ
Jacobian=(ρ^2)sinφ x^2+y^2+z^2=ρ^2
2π π 5
原式=∫ ∫ ∫ (1/ρ^2)*(ρ^2)sinφdρdφdΘ
0 0 0
2π π 2π
=∫ ∫ 5sinφdφdΘ =∫ 10 dΘ =20π
0 0 0
: 還有這題
: ∫∫y/(x^2+y^2)dA,where R is the triangle bounded by y=x,y=2x,x=2
: R
: 請高手幫忙,謝謝!
這題則是寫成
2 y 4 2
∫∫ y/(x^2+y^2)dxdy + ∫∫ y/(x^2+y^2)dxdy
0 y/2 2 y/2
2 |y 4 |2
=∫ arctan(x/y)| dy + ∫ arctan(x/y)| dy
0 |y/2 2 |y/2
2 4
=∫ π/4 - arctan(1/2)dy + ∫ arctan(2/y) - arctan(1/2)dy
0 2
4
然後 ∫ arctan(2/y)dy 用令u=arctan(2/y)代入,再用分部積分如下
2
4 arctan(1/2) |arctan(1/2) |arctan(1/2)
∫arctan(2/y)dy = 2∫ - u(cscu)^2 du =2(ucotu| + ln|cscu|| )
2 π/4 |π/4 |π/4
=4arctan(1/2)-(π/2)+ln(5/2)
而原式則成為 π-(π/4)+4arctan(1/2)-(π/2)+ln(5/2)-(π/4)=4arctan(1/2)+ln(5/2)
即為答案
打了很久,也算了很久,真的希望好心的大大幫我看看對不對,謝謝!
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