※ 引述《htc812 (大帥)》之銘言：
: 1. 設 f:[0,1]-->R 為連續函數 且 f(0)=0. show that 1
: lim ∫ f(x^n)dx = 0
: n->無窮大 0
: 2. 設 f:[a,b]-->R 為連續函數 滿足以下條件
: |f(u)-f(v)| < = 2|u-v|,對任何u,v屬於[a,b]
: b
: 試証 f在[a,b]上黎曼可積 以及 |∫f(x)dx-(b-a)f(a)| < = (b-a)^2
: a
: 謝謝
1.
對任意 e>0, 存在 d>0 (且 d<1) 使得 |f(x)| < e whenever 0≦x≦d
令 d^(1/n) = t
1 t 1
0 ≦ |∫f(x^n) dx| ≦ ∫ |f(x^n)| dx + ∫|f(x^n)| dx
0 0 t
≦ e + M(1-t) for some M>0
1
因為 t -> 1 as n -> oo, 所以 0 ≦ lim |∫f(x^n) dx| ≦ e
n->oo 0
1
因為 e 是任意正數, 故 lim ∫f(x^n) dx = 0
n->oo 0
2.
由假設條件知 f 顯然是均勻連續, 故連續, 故黎曼可積.
b b b
|∫f(x) dx - (b-a)f(a)| ≦ ∫|f(x)-f(a)| dx ≦ 2∫(x-a) dx = (b-a)^2
a a a
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