Re: [考古] 連續的題目

[SMer (愁落暗塵)]

※ 引述《GayerDior (蠟筆小新<(￣.￣)/)》之銘言：
: E: [政治大學]
:   Let h:[0，1] --> R be a continuous function，
:                       +
:   h(0)=0 and lim δ->0  (h(s+δ)-h(s))/δ ≦ c
:   for all 0≦c<1 ， where c is a constant.Then
:   h(s)≦cs for all 0≦s≦1。(15%)
: 這題我想超久，就是不知道它在問什麼東西。
: 如果有人會寫請幫我寫出詳細過程，
: 謝謝

Sketch the proof :

對任意 ε>0 與任意在 [0,1) 內的 s, 存在 I(s) = (s,s+δ_s) 使得對任意 I(s) 內
的點 y 有 f(y) - f(s) ≦ (c+ε)(y-s).

另外再取區間 I(1) = (1-δ,1+δ) 使得對任意兩點 x,y 在 I(1) 內且 h 在 x,y 上
有定義有 |h(x)-h(y)| < ε.

調整 I(0) = (-δ_0,δ_0) 再適當的調整 δ_s 的長度讓 {I(s) : 0≦s≦1}
是一組 [0,1] 的開覆蓋, 因為 [0,1] 是 compact => 它有有限的子覆蓋.

假設此子覆蓋為 I(0), I(s_1), ..., I(s_n), I(1).

對任意 (0,1] 中的點 y => y 必然落在 I(0), I(s_1), ..., I(s_n) 與 I(1)
的其中某個, 不妨設 y=1 (其餘類似), 我們有

h(y) - h(s_n+δ_s_n) < ε

h(s_n+δ_s_n) - h(1-δ) < ε  (這個有均勻連續性保證)

h(1-δ) - h(s_n) < (c+ε)(1-δ-s_n)

h(s_n) - h(s_n-1) < (c+ε)(s_n - s_n-1)
.
.
.
h(s_2) - h(s_1) < (c+ε)(s_2 - s_1)

h(s_1) - h(0) < (c+ε)(s_1 - 0)

全部加起來 => h(y) < 3ε + (c+ε)(1-δ) < 4ε + c(1-δ)

假設先固定 ε, 則不論 c 為正為負, 因為可以調整 δ 故 h(y) ≦ 4ε + cy,

因為 ε 是任意的故 h(y) ≦ cy.


寫的有些亂, 有些地方我還要想一想.









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朋友，風起了，蟬鳴了，你聽見了嗎。

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 203.74.43.148
推 GayerDior:○.○ 好嚴謹的證明~這題先擱著好了>.<
→ GayerDior:非常謝謝你~(￣▽￣)~(＿△＿)~(￣▽￣)