Re: [積分&極限]後醫系94年考古題

[SMer (愁落暗塵)]

※ 引述《johnnyjaiu (芭樂)》之銘言：
: 23.If F(x)=∫0到x^2 sin(xt)/t dt, find F'(x) where x≠0
:    這題我一開始是用積分的基本定義2, 但不知道 sin(xt) 的x要怎麼代換。
:    正確答案是 3sin(x^3)/x

固定一個 x≠0, 令 xt = u, 由變數代換有下面等式.

        x^2                 x^3
F(x) = ∫   sin(xt)/t dt = ∫  sin(u)/u du
        0                   0

因為我們固定任意的非零 x 都有上式, 故由微積分基本定理知

F'(x) = (3x^2)[sin(x^3)/x^3] = 3sin(x^3)/x for all x≠0


當 x>0
                    x^2                    x^2
|[F(x)-F(0)]/x| = |∫   sin(xt)/xt dt| ≦ ∫  1 dt = x^2
                    0                      0

故 lim   [F(x)-F(0)]/x = 0, 因為 [F(x)-F(0)]/x 是偶函數, 故 F'(0) = 0.
   x->0+



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朋友，風起了，蟬鳴了，你聽見了嗎。

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◆ From: 61.223.52.122
→ johnnyjaiu:也就是說GayerDior的（xt）並沒有代換
→ johnnyjaiu:令u=xt...果然腦筋要轉一下想的到ORZ
→ johnnyjaiu:呃…請問你是晚上睡不覺較來幫忙作的嗎
→ johnnyjaiu:太辛苦了= = 要早點休息~~ 謝謝你喔^ ^