※ 引述《halaper (..........)》之銘言：
: Rolle's theorem
: Let g be differentiable on the open intervel(a,b) and continuous on the closed
: interval [a,b].If g(a)=g(b),then there is at least one number c in (a,b) for
: which g'(c)=0
: 這題我不會証
: 書上也沒有
: 可以幫忙解答一下嗎
剛剛的回答若看懂了,再看以下洛爾定理的證明, 我用中文證明你比較看的懂..
(1)
若 g(x)為常數函數, x in [a,b] 則 g'(x)=0, x in (a,b)
=> g'(c)=0, c in (a,b) 得證
(2)
若 g(x)不為常數函數, 則必存在一 t in (a,b) 使得 g(t)>0 或 g(t)<0
1). 當 g(t)>0, 又已知 g 在 [a,b] 連續, 必有一 c 使 in [a,b] 使 g(c) 為最大值
則 g(c)≧g(t)＞0, 且 g(a)=g(b), 可確定 c≠a, c≠b => 即 c 屬於 (a,b)
因此 lim(h→0)[g(c+h)-g(c)]≦0 (因 g(c) 為最大)
=> lim(h→0+)[g(c+h)-g(c)]／h ≦0 且 lim(h→0-)[g(c+h)-g(c)]／h ≧0
又 g 在 (a,b) 可微 => g'(c) 的導數極限要存在, 所以 g'(c)＝0
2). 同理可證, 當 g(t)<0, 必存在一 c 使得 g'(c)=0
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