※ 引述《spss520 (剩下一個月啦)》之銘言：
: Let f[0,1]→R be continuous function and f(0)=0
: 1
: show lim ∫ f(x^n)dx=0
: n→∞ 0
: 謝謝大家
給定ε>0，令 M 為 |f| 在 [0,1] 上的最大值，取 p = min{1/2,ε/2M}，則
1
∫ |f(x^n)| dx ≦ Mp ≦ ε/2 對所有自然數 n 成立
1-p
因為 f(0)=0，由 f 的連續性知存在 δ>0 使得當 0≦x<δ 時有 |f(x)| < ε/2，
選取一 N 夠大讓 (1-p)^N < δ，於是 |f(x^N)| < ε/2 對所有 0≦x≦1-p 成立。
1-p
因而 ∫ |f(x^N)| dx < (ε/2)(1-p) < ε/2
0
1
故 ∫ |f(x^n)| dx < ε 當 n≧N
0
1
因為 ε 是任意的所以 lim ∫ |f(x^n)| dx = 0，而這會導致原命題成立。
n->oo 0
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.217.78
※ 編輯: Dirichlet 來自: 140.112.217.78 (01/30 02:15)