推 chrisjon:謝謝 125.229.73.102 02/22 21:53
※ 引述《chrisjon (布丁狗)》之銘言：
: X = t/(1+t) Y = ㏑(1+t) ,t屬於[0,2]間之弧長 = ?
: dx/dt = 1/(1+t)^2 dy/dt = 1/(1+t)
: ∫√{ 1/(1+t)^4 + 1/(1+t)^2 } dt, t = 0 to 2
: = ∫√[(1+t)^2+1] / (1+t)^2 dt , t = 0 to 2
: 我令1+t = tanw , dt = (secw)^2 dw
: =>
: ∫[secw / (tanw)^2] * (secw)^2 dw , w = arctan1 to arctan3
: 感覺變得很複雜…
: 接下來不知道怎麼做了^^"
2 √((1+t)^2 + 1)
到 ∫ ----------------- dt 這裡
0 (1+t)^2
先令 1+t = u 會比較好算
t = 0 u = 1
=> dt = du
t = 2 u = 3
2 √((1+t)^2 + 1)
∫ ----------------- dt
0 (1+t)^2
3 √(u^2 + 1)
= ∫ ------------- du
1 u^2
√(u^2 + 1)
先計算 ∫------------- du
u^2
令 u = tanΘ , 則 du = (secΘ)^2 dΘ
√(u^2 + 1)
∫------------- du
u^2
(secΘ)((secΘ)^2)
= ∫-------------------- dΘ
(tanΘ)^2
(secΘ)
= ∫--------- d(tanΘ)
(tanΘ)^2
-1 -1
= (-----)(secΘ) - ∫(-----) d(secΘ)
tanΘ tanΘ
cosΘ 1 1
= (-1)(-----)(-----) + ∫(-----)(secΘ)(tanΘ) dΘ
sinΘ cosΘ tanΘ
-1
= (-----) + ∫secΘ dΘ
sinΘ
-1
= (-----) + ln|secΘ + tanΘ| + c
sinΘ
(-1)(√(1 + u^2))
= ------------------- + ln|√(1 + u^2) + u| + c
u
3 √(1 + u^2)
∫ ------------- du
1 u^2
(-1)(√(1 + u^2)) |3
= ------------------- + ln|√(1 + u^2) + u| |
u |1
(-1)(√10) (-1)(√2)
= (---------- + ln(√10 + 3)) - (--------- + ln(√2 + 1))
3 1
(-1)(√10)
= (----------) + ln(3 + √10) + √2 - ln(1 + √2)
3
√10
= √2 - ------ + ln(3 + √10) - ln(1 + √2)
3
√10
因此所求弧長為 √2 - ------ + ln(3 + √10) - ln(1 + √2)
3
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