推 vu3cj0su3:謝謝 61.217.203.144 04/27 06:49
※ 引述《vu3cj0su3 ( )》之銘言：
: sequence{a_n},a_1=2.a_n+1=0.5(a_n+2/a_n),prove that {an} converges.
: 這題應該是遞減有下界
: 下界是sqrt(2) 還算好證
: 但怎麼證明它遞減呢？
: 另外他的explicit formula 可以找出來嗎？
: 謝謝~~
首先, 顯然 a_n>0 for all n=1,2,...
a_1=2 and
a_{n+1} = (a_n +2/a_n)/2
≧ √[a_n(2/a_n)] = √2 n=1,2,...
故 a_n≧√2 for all n=1,2,....
a_{n+1}-a_n = 1/a_n - a_n/2
= (2-a_n^2)/(2a_n) ≦ 0 for all n.
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