[轉錄][情報] 免費微積分解答之台大(94B)篇

[hhhhhh (hboy)]

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作者: efmouse (無限生命) 看板: Transfer
標題: [情報] 免費微積分解答之台大(94B)篇
時間: Sat Apr  7 12:58:30 2007


一. 填充題 7%x10= 70%

 1.lim           [(x^2 +2x)^ 1/2 -x]    Ans: 1
   x-->infinite

 2.x^ n 與 x^1/n 所圍成之面積 = 1/2 求 n=? Ans: 3

過程如下面我po的一篇

 3. 求 f(x) = lnx/x之最大值           Ans: 1/e

   由題設 f(x) = lnx /x domf = (0, infinite)

   --> f'(x) = 1/x .x -1.lnx / x^2 = 1-lnx/x^2

       f'(x) = 0 <--> 1-lnx = 0 <--> lnx =1 <--> x = e --(*)

       列表討論於下 (由*)

       x                        e
     ---------------------------------------------------
     f'(x)   +               |  0    |     -
     ---------------------------------------------------
     f(x)  increasing        |       |  decreasing
     ---------------------------------------------------
      註                     |(極大) | 亦為最大 因為 遞減後就無遞增

     --> f(e) = lne/e = 1/e 為f之最大值 Q.E.D.



 4.
    f(x) =[ 2x-2 , x<-1
          [ Ax+B ,-1<x<1 求continuous 時 A=? B=? Ans: A=8,B=4
          [ 5x+7 , x>1

    4
5. S   (x^2-4)^1/2 / x  dx              Ans: 略
    2

使用柴比雪夫代換法 可輕鬆得分 (大概花3-5分鐘)


  +infinite
6.S            exp(-x^2)    Ans: pi^1/2 (此為鼎鼎大名的Euler-Possian 積分)
  -infinite

   infinite
7. sigma       x^n / n+1  求收斂區間 Ans: [-1,1) or -1<= x <1
   n=0


   infinite
8. sigma     (n+1)^n/ n^(n+1)  收斂or 發散  Ans: 發散 (用極限比較法
   n=1
                   取 an=原式 bn= 1/n

             補充一下 用root or ratio 會上惡當!!

              btw lim             an  會等於 0 喔!!
              n-->infinite


9.  可用 green theorem 化成 S S  (1-2x) dx dy  (Ans: 2/15)

10. 考方向導數  using grad f dot U  (Ans: 3/5 e^2 + 4/5)

 沿 V = (0, 3/5^1/2 ,4/5^1/2 ) 方向之方向導數

 gradf = [(3x^2)(e^y) +z , (x^3)(e^y) , x ]

 gradf|(1,2,3) = (3e^2 +3, e^2 , 1)

 U =  (0, 3/5^1/2 ,4/5^1/2 ) / [0^2 + (3/5^1/2)^2 + (4/5^1/2)^2]^ 1/2

   =  (0, 3/5^1/2 ,4/5^1/2 ) / 5^1/2 = (0, 3/5 , 4/5 )

DuF= grad f dot U = (3e^2 +3, e^2 , 1) dot (0, 3/5 , 4/5 )

                  = 3/5 e^2 + 4/5


二. 計算題 15point each

                             x             1
  1. f(x) 屬於 R  such that S   f(t) dt = S  t^2 f(t) dt + x^10/5 + x^12/6 +C
                             0             x


使用 F.T.C. 兩邊一起微分可得 ..... f(x) = 2x^9

代入原式... 可得 C = -1/6



 2.   x^2+y^2 =4 , x+z =6 與 xz平面所圍立體之向外Flux (通量)

      用散度定理吧.... div F = S S S 3x dx dy dz

      以下略...
※ 編輯: efmouse         來自: 140.124.13.2         (04/07 13:13)
推 GayerDior:第二題應該是無解 QQ
推 hhhhhh:第二題我也覺得怪怪的
推 joeytseng:理論上你第二題答案是錯的，但很有可能是他要的...ㄎㄎ
※ 編輯: efmouse         來自: 140.124.13.2         (04/08 01:56)
※ 編輯: efmouse         來自: 140.124.13.2         (04/09 17:26)
推 hhhhhh:現在不能在這討論了，借轉別版，謝謝
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◆ From: 124.8.148.247
→ GayerDior:你不是有答案要po嗎?我在等你耶....XD
→ GayerDior:我推joeytseng所說的
→ GayerDior:我只能說 他覺得自己出的很有深度 但卻
→ GayerDior:破綻百出 講的不明不白 某強者說:對考慮
→ GayerDior:很多的人很吃虧..........
→ zelkova:直接問台大的教授xDD
→ hhhhhh:居然被等著要答案(驚)