※ 引述《king911015 (早已放棄愛上你)》之銘言：
1
1. ∫ X^3 e^-x^2 dx
0
1 x t^2
2. lim -----∫-----------dt
x→0 X^3 0 t^4 + 1
3
3. 求由 y= -----，y= 4 - x^2 所圍之面積
x^2
※ 引述《LuisSantos (^______^)》之銘言：
1 x t^2
2. lim (-----)(∫ --------- dt)
x→0 x^3 0 t^4 + 1
x t^2
∫ --------- dt
0 t^4 + 1
= lim ------------------
x→0 x^3
x^2
---------
x^4 + 1
= lim --------------
x→0 (3)(x^2)
1 x^2
= lim (----------)(---------)
x→0 (3)(x^2) x^4 + 1
1 1
= lim (---)(---------)
x→0 3 x^4 + 1
1 1 1 1 1
= (---)(-------) = (---)(---) = ---
3 0 + 1 3 1 3
1
1. ∫ x^3 e^-x^2 dx
0
∫ x^3 e^-x^2 dx
= ∫ x x^2 e^-x^2 dx
1
= - ∫x^2 e^-x^2 dx^2 令 u=x^2
2
1
= - ∫u e^-u du
2
1
= - [-u(e^-u) - ∫-(e^-u) du]
2
1 1
= - [-u(e^-u) - e^-u] = - [-(x^2)(e^-(x^2)) - e^-(x^2)]
2 2
1 1 |1
∫ x^3 e^-x^2 dx = - [-(x^2)(e^-(x^2)) - e^-(x^2)] |
0 2 |0
1
= - - e^(-1)
2
3
3. 求由 y= -----，y= 4 - x^2 所圍之面積
x^2
3
----- = 4 - x^2 => x=1 or -1 , √3 or -√3
x^2
3 3 3
lim ----- = ∞ lim ----- = 0 lim ----- = 0
x->0 x^2 x->∞ x^2 x->-∞ x^2
3
y = ----- 會類似一個火山口圖形
x^2
然後在 x=1 or -1 , √3 or -√3 與 y= 4 - x^2 相交
3 3
∫ (4 - x^2) - (-----) dx = ∫4 dx - ∫ x^2 dx - ∫ ----- dx
x^2 x^2
1 3
= 4x - - x^3 + ---
3 x
-1 3 1 3 |-1
∫ (4 - x^2) - (-----) dx = 4x - - x^3 + --- |
-√3 x^2 3 x |-√3
1
= - + 4√3 - 7
3
√3 3 1 3 |√3
∫ (4 - x^2) - (-----) dx = 4x - - x^3 + --- |
1 x^2 3 x |1
1
= - + 4√3 - 7
3
所以所圍之面積
-1 3 √3 3
∫ (4 - x^2) - (-----) dx + ∫ (4 - x^2) - (-----) dx
-√3 x^2 1 x^2
1
= 2 ( - + 4√3 - 7)
3
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