推 hqbbjmtj:太謝謝了..沒想到從後面的積分下手..多謝218.166.217.251 04/26 10:05
※ 引述《hqbbjmtj (BKJK)》之銘言：
: ∫e^x‧(sinx)^n dx n為正整數
: 這...想說先代入找規律...結果到n=5 就...
: 直接分部積分也...囧...
: 代換、寫成冪級數都爆...(應該是我程度不夠)
: 想說是不是要用Euler Formula ...但卻不會用...
: 麻煩各位幫忙了!
用分部積分(sinx n次方應該不是在指數吧 是的話我的解法就錯了 囧)
令原式= In
In = e^x‧(sinx)^n - n∫e^x‧(sinx)^(n-1)‧cosxdx ___________☆
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
然後解這個...
∫e^x‧(sinx)^(n-1)‧cosxdx = e^x‧(sinx)^(n-1)‧cosx
- ∫e^x d((sinx)^(n-1)‧cosx)
= e^x‧(sinx)^(n-1)‧cosx - ∫e^x‧((n-1)sinx^(n-2)(cosx)^2 - (sinx)^n) dx
= e^x‧(sinx)^(n-1)‧cosx - (n-1)∫e^x‧(sinx)^(n-2)(1-(sinx)^2)
+ ∫e^x‧(sinx)^n dx
^^^^^^^^^^^^^^^^^^
這就是我們剛剛的In
= e^x‧(sinx)^(n-1)‧cosx - (n-1)∫e^x‧(sinx)^(n-2)dx
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
這是In-2
+ (n-1)∫e^x‧(sinx)^n dx + In
^^^^^^^^^^^^^^^^^^
這也是In
= e^x‧(sinx)^(n-1)‧cosx - (n-1)In-2 + n‧In______★
★代回剛剛的☆式
得 In = e^x‧(sinx)^n - n‧e^x‧(sinx)^(n-1)‧cosx
+ n(n-1)In-2 - (n^2)‧In
In移項 得
((n^2)+1)In = e^x‧(sinx)^n - n‧e^x‧(sinx)^(n-1)‧cosx + n(n-1)In-2
故 In = (e^x‧(sinx)^n - n‧e^x‧(sinx)^(n-1)‧cosx + n(n-1)In-2)/((n^2)+1)
以上
打完收工 有錯請指正囉^^
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莫非定律：
笨蛋可防，不過防不了大笨蛋。
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◆ From: 123.193.208.24