※ 引述《tiyico (宏)》之銘言：
: prove that :
: f'(x)≧0 on interval I <=> f(x) is increasing on I
: (<=)方向的我有點卡住 可以請教一下嗎
: ------------------------------------------------
: x
: 利用 MVT 定理證明 ln(1+x) > -----
: 1+x
證明: 令 f(t) = ln(1+t)
for x > 0
f(t) = ln(1+t) 在 [0,x]連續 , 並且在 (0,x) 可微
所以由MVT得
f(x) - f(0)
存在c屬於(0,x)使得 ------------- = f'(c)
x - 0
ln(1+x) - ln1 1
--------------- = -------
x - 0 1 + c
ln(1+x) 1
--------- = -------
x 1 + c
0 < c < x
1 < 1 + c < 1 + x
1 1
1 > ------- > -------
1 + c 1 + x
ln(1+x) 1 1
--------- = ------- > -------
x 1 + c 1 + x
x
因此 ln(1+x) > -------
1 + x
for x < 0
f(t) = ln(1+t) 在 (x,0) 連續 , 在 (x,0) 可微
由 MVT 得
f(x) - f(0)
存在c屬於(x,0)使得 ------------- = f'(c)
x - 0
ln(1+x) 1
--------- = -------
x 1 + c
x < c < 0
1+x < 1+c < 1
1 1
----- > -----
1+x 1+c
ln(1+x) 1 x
--------- < ------- => ln(1+x) > -----
x 1 + x 1+x
: ------------------------------------------------
: f(x) = ln(1+x)
: 試求函數在原點x=0 所衍生的n次泰勒多項式
: 並判斷f在原點所產生的泰勒及數其是否在收斂區間內收斂於f(x)
: (最後那句我看不大懂意思)
: 感激指教
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.119.41.161
※ 編輯: LuisSantos 來自: 140.119.41.161 (05/03 12:02)
※ 編輯: LuisSantos 來自: 140.119.41.162 (05/03 12:19)