推 kidd0717:嗯嗯 只是這題出在極座標轉換裡 所以才用 220.135.112.68 05/24 18:26
→ kidd0717:極座標轉換 倒是沒想過其他方法 感謝^^ 220.135.112.68 05/24 18:27
※ 引述《kidd0717 (胖)》之銘言：
: 最近進度到重積分..好難好難好難
: 範圍界定真的很困難..
: 例如以下這題 不知道有人可以詳細的說明他的範圍是怎麼界定出來的嗎?
: 2 (2x-x^2)^1/2
: ∫ ∫ (x^2+y^2)^(-1/2) dydx
: 1 2
: 算法應該是令x=rcosΘ,y=rsinΘ
: 可是接下來r和Θ的範圍是多少我就不會算了..
: 先感謝了^^
把內層積分上下限對調 (整個積分結果變號).
積分範圍描繪出來, 是
R = {(x,y): 1≦x≦2, √(2x-x^2)≦y≦2}
= ((x,y): 1≦x≦2, (x-1)^2+y^2≧1, 0≦y≦2}
那是 1≦x≦2, 0≦y≦2 下方被挖去 (x-1)^2+y^2≦1 一
部分.
前面的回答都根據原 po 說用極座標變換. 可是原題目有
要求極座標變換否? 若沒有限制, 無妨考認直接做.
內層 (x^2+y^2)^{-1/2} 對 y 積分, 不妨直接利用公式;
或採 y = x sec(u) 的變換. 於是
2 2
∫∫ 1/√(x^2+y^2) dy dx
0 √(2x-x^2)
2
= ∫ ln{[2+√(4+x^2)]/[√(2x-x^2)+√(2x)]} dx
0
做分部積分, 得
原式 = 2ln(1+√2)-ln(2+√5)
2 x/√(4+x^2) (1-x)/√(2x-x^2) + 1/√(2x)
- ∫ x [ ------------- - ----------------------------- ] dx
1 2+√(4+x^2) √(2x-x^2) + √(2x)
經一番代數化簡, 成為
原式 = 2ln(1+√2)-ln(2+√5)
2 √(2x) - √(2x-x^2) 1-x 1
-∫ --------------------- [ ------------ + -------- ] dx
1 x √(2x-x^2) √(2x)
= 2ln(1+√2)-ln(2+√5)
2 √2 - √(2-x) 1-x 1
-∫ --------------- [ -------- + ----- ] dx
1 x √(2-x) √2
取 u=√(2-x) 的變換即可算出.
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