推 dreamroyc:第一題提出X我怎麼覺得怪怪的 61.230.0.172 05/27 04:52
推 onepieceQ:我也這麼覺得... 請原PO指示一下 :)140.115.214.246 05/27 11:58
推 onepieceQ:原來在 註 裡面 SORRY:(140.115.214.246 05/27 12:06
※ 引述《yakosi (for humanity)》之銘言：
: π XsinX
: ∫---------------dX
: 0 1+cos^2 X
π (x)(sinx)
∫ -------------- dx
0 1 + (cosx)^2
π π sinx
= (---)(∫ -------------- dx)
2 0 1 + (cosx)^2
π -1 1
= (---)(∫ (---------)(-1) du)
2 1 1 + u^2
(令 u = cosx , 則 du = -sinx dx => sinx dx = (-1) du)
(x = 0 => u = 1 , x = π => u = -1)
π 1 1
= (---)(∫ --------- du)
2 -1 1 + u^2
1 1
= (π)(∫ --------- du)
0 1 + u^2
1
(--------- 在 [-1 , 1] 是偶函數)
1 + u^2
-1 |1
= (π)(tan u)|
|0
π π^2
= (π)(----) = ------
4 4
註： f(x) 在[0,1]連續
π π π
∫ (x)(f(sinx)) dx = (---)(∫ f(sinx) dx)
0 2 0
證明： 令 y = π - x , 則 x = π - y => dx = (-1) dy
x = 0 y = π
=>
x = π y = 0
π
∫ (x)(f(sinx)) dx
0
0
= ∫ (π-y)(f(sin(π-y)))(-1) dy
π
π
= ∫ (π-y)(f(siny)) dy
0
π π
= ∫ (π)(f(siny)) dy - ∫ (y)(f(siny)) dy
0 0
π π
= ∫ (π)(f(sinx)) dx - ∫ (x)(f(sinx)) dx
0 0
π π
(2)(∫ (x)(f(sinx)) dx) = ∫ (π)(f(sinx)) dx
0 0
π
= (π)(∫ f(sinx) dx)
0
π π π
∫ (x)(f(sinx)) dx = (---)(∫ f(sinx) dx)
0 2 0
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