Re: [積分]

[ahongyeh (小葉子)]

※ 引述《king911015 (早已放棄愛上你)》之銘言：
: y = ln(1 + X),而 y^(n)=?
: 請問這題可以用馬克勞林嗎?
: 因為我用這個方法出來的答案不對
: 不知是我算錯還是不行?

如你所願~~
我用馬克勞林級數做做看~~
不過這一題應該不能用馬克勞林，         (n)
因為馬克勞林是在0的地方展開...也就是算f  (0)才可以用...

                         k  k+1
                 ∞  (-1)  x
f(x) = ln(1+x) = Σ ------------ ‧‧‧‧‧(1)
                 k=0    k+1

              (n)
       ∞    f   (0)   n
f(x) = Σ  ---------- x  ‧‧‧‧‧‧‧‧‧(2)
       n=0     n!

∵ (1) = (2)

∴ 令 n = k + 1

     (n)          n-1
=>  f   (0) = (-1)   (n-1)!

            (n)
至於要做出 f  (x) 的話，多微幾次就知道了

f(x) = ln(1+x)

 (1)       1
f  (x) = -----
          1+x


 (2)        -1
f  (x) = --------
         (1+x)^2


 (3)        2
f  (x) = --------
         (1+x)^3


 (4)        -6
f  (x) = --------
         (1+x)^4

所以得到以下結論
              n-1
 (n)      (-1)   (n-1)!
f  (x) = ---------------
             (1+x)^n

順便驗證一下剛剛馬克勞林展開...

     (n)          n-1
=>  f   (0) = (-1)   (n-1)!

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◆ From: 219.68.185.159
推 youyouyou:題目明明就是問導函數,硬要求沒問的導數
推 youyouyou:何必理它呢.
推 ahongyeh:我覺得...大家在這裡都希望更好...
→ ahongyeh:或許有人就是會犯點小錯或疏忽或轉不過來
推 ahongyeh:幫幫他又何妨??
→ ahongyeh:而且我剛剛也有釐清了一些不太懂的東西
→ ahongyeh:我覺得這也是挺好的啊~~ ^^
→ yhliu:支持版主!
→ yhliu:查一下問者文章, 頗有 "意思"!
推 tsungjen:我覺得ahongyeh說的比較有道理
推 aweila75:同上，我覺得不太會的人就是不會才要問。
推 youyouyou:連題意都弄不清楚就不是小錯了
推 youyouyou:而且常常問一些五四三.真懷疑她有沒有唸
推 king911015:我就是不懂才上來的~懂了也沒上來的必
→ king911015:要上來了~如果有妨礙到誰的話，對不起
→ king911015:不過還是要謝謝大家~那下次叫我要怎麼
→ king911015:問才叫合理什麼又叫不合理了?= =?
推 youyouyou:很明顯連標題都亂選,還有很多東西翻書
推 youyouyou:就有.我想你如果想弄懂應該請個老師
→ king911015:對不起~我選錯了~~
推 youyouyou:你選錯也不是第一次了.而且又不是隨便選
推 youyouyou:標題類別就ok,你有標題嗎?
推 goshfju:很怪 題目是要算f^(n)(x)
→ goshfju:為什麼硬要算f^(n)(0)呢?
→ goshfju:而且Maclaurin's series是怎麼來的?
推 OnlyGood:你也可以再任一點展開阿　　怎麼來的？
→ OnlyGood:證明來的。
推 ahongyeh:因為Maclaurin's series只能算f^(n)(0)啊
推 OnlyGood:..........................
→ goshfju:我是說你怎麼展開ln(1+x)的 不就是微分嗎?
推 ahongyeh:ln(1+x)的馬克勞林展開就是長那樣子啊~~
→ ahongyeh:在我印象中這是必背的~~
→ goshfju:那是用背的吧 囧
→ ahongyeh:e^x、sinx、cosx、(1-x)^(-1)、arctanx
→ ahongyeh:這些也是必背的
→ goshfju:重點是你用結果來證明原因阿 @@
→ ahongyeh:老師說過~~微積分是一門背的學問...
→ ahongyeh:那個...我是要讓發問者了解啦~~>"<
→ ahongyeh:因為他執意要用馬克勞林...所以...