※ 引述《ting301 (交給五樓)》之銘言：
: -> -> -> ->
: F = x^3 i + y^3j + z^3k
: -> ->
: find the surface integral SS F* n dR (*: inner product)
: R
: where R = {x,y,z | x^2 +y^2 +z^2 =1}
: ->
: and n is a unit outward normal venter
: thanks
→ →
∫∫(F ‧ n ) dR
R
→
= ∫∫∫divF dV , where D = {(x,y,z)|x^2 + y^2 + z^2 ≦ 1}
D
= ∫∫∫(3)(x^2) + (3)(y^2) + (3)(z^2) dxdydz
D
= ∫∫∫(3)(x^2 + y^2 + z^2) dxdydz
D
2π π 1
= ∫ ∫ ∫ (3)(r^2)(r^2)(sinψ) drdψdΘ
0 0 0
(令 x = (r)(cosΘ)(sinψ) , y = (r)(sinΘ)(sinψ) , z = (r)(cosψ))
( |J| = (r^2)(sinψ) , 0 ≦ r ≦ 1 , 0 ≦ ψ ≦ π , 0 ≦ Θ ≦ 2π)
2π π 1
= ∫ ∫ ∫ (3)(r^4)(sinψ) drdψdΘ
0 0 0
2π π 3 |r = 1
= ∫ ∫ (---)(r^5)(sinψ) | dψdΘ
0 0 5 |r = 0
2π π 3
= ∫ ∫ (---)(sinψ) dψdΘ
0 0 5
2π 3 |ψ = π
= ∫ (---)(-cosψ) | dΘ
0 5 |ψ = 0
2π 3
= ∫ (---)((-cosπ) - (-cos0)) dΘ
0 5
2π 3
= ∫ (---)((-(-1)) + 1) dΘ
0 5
2π 3
= ∫ (---)(2) dΘ
0 5
2π 6 6 |2π 12
= ∫ --- dΘ = (---)(Θ) | = (----)(π)
0 5 5 |0 5
--
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